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(83)

$(\theta -\varphi _{0})(\theta -\varphi _{1})\ldots (\theta -\varphi _{m-1})u=0,$

de manière que

$u,\qquad {\frac {du}{dt}},\ldots \qquad {\frac {d^{m-1}u}{dt^{m-1}}}$

se réduisent à des fonctions données de $x,y,z\ldots ,$ pour $t=0,$ si une seule valeur de $u$ est propre à vérifier l’équation (82), avec la condition que

$u,\qquad {\frac {du}{dt}},\ldots \qquad {\frac {d^{m-2}u}{dt^{m-2}}}$

se réduisent à des fonctions données, ou bien à des valeurs nulles pour $t=0.$ En continuant de la même manière, on prouvera qu'une seule valeur de $u$ peut vérifier l’intégrale (83) avec les conditions prescrites, si une seule valeur de $u$ peut vérifier une équation de la forme

(84)

$(\theta -\varphi _{0})u=0,$

de manière à s’évanouir pour $t=0.$ Or, on aura, dans ce cas

(85)

$u=e^{t\varphi _{0}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )}\psi _{0}(x,y,z\ldots )\,;$

et l’équation de condition donnera

$\psi _{0}(x,y,z\ldots )=0,$

et par suite

(86)

$u=0.$

Telle est la seule valeur de $u,$ propre à vérifier l’équation (85) avec la condition requise. Par conséquent, une seule valeur de $u$ vérifiera l’équation (83) avec les conditions prescrites. Donc, par suite, une seule valeur de $u$ pourra vérifier l’équation (41), supposée de l’ordre $m$ par rapport à $t,$ de manière que