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les formules (4) et (17), soit que l’on substitue les valeurs de $\psi _{0}(x,y\ldots ),$ $\psi _{1}(x,y\ldots )\ldots$ dans la formule (16), pourvu toutefois que l’on se borne aux valeurs particulières de $\psi _{0}(x,y\ldots ),$ $\psi _{1}(x,y\ldots ),$ etc…, déduites par l’élimination des équations (19).

Si, conformément aux conventions établies dans le paragraphe 4^e, on regarde la notation

(21)

${\frac {f(x,y,z\ldots t)}{\operatorname {F} (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\ldots \operatorname {D} _{t})}}$

comme exprimant l’intégrale de

(22)

$\operatorname {F} (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\ldots \operatorname {D} _{t})u=f(x,y,z\ldots t),$

alors, en supposant

(23)

${\frac {1}{\operatorname {F} (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\ldots \operatorname {D} _{t})}}={\frac {\mathrm {A} }{a\operatorname {D} _{x}+b\operatorname {D} _{y}+\ldots +k\operatorname {D} _{t}+l}}$

${\begin{aligned}&+{\frac {\mathrm {A} '}{a'\operatorname {D} _{x}+b'\operatorname {D} _{y}+\ldots +k'\operatorname {D} _{t}+l'}},\\&+{\text{etc}}\ldots \end{aligned}}$

on aura

(24)

${\frac {f(x,y,z\ldots t)}{\operatorname {F} (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\ldots \operatorname {D} _{t})}}=\mathrm {A} {\frac {f(x,y,z\ldots t)}{a\operatorname {D} _{x}+b\operatorname {D} _{y}+\ldots +k\operatorname {D} _{t}+l}}$

${\begin{aligned}&+\mathrm {A} '{\frac {f(x,y,z\ldots t)}{a'\operatorname {D} _{x}+b'\operatorname {D} _{y}+\ldots +k'\operatorname {D} _{t}+l'}},\\&+{\text{etc}}\ldots \end{aligned}}$

Cette dernière formule ramène l’intégration de l’équation (22) à celles des équations de la forme

(25)

$(a\operatorname {D} _{x}+b\operatorname {D} _{y}+\ldots +k\operatorname {D} _{t}+l)u=f(x,y,z\ldots t).$

Supposons, par exemple, que $\operatorname {F} (\alpha ,\beta )$ soit une fonction homogène de $\alpha$ et $\beta$ du degré $m,$ en sorte qu'on ait

${\begin{aligned}\operatorname {F} (\alpha ,\beta )&=\beta ^{m}\operatorname {F} \left({\frac {\alpha }{\beta }},1\right)\\&=\mathrm {A} _{m}\beta ^{m}\left({\frac {\alpha }{\beta }}-\theta _{0}\right)\left({\frac {\alpha }{\beta }}-\theta _{1}\right)\ldots \left({\frac {\alpha }{\beta }}-\theta _{m-1}\right)\\&=\mathrm {A} _{m}(\alpha -\theta _{0}\beta )(\alpha -\theta _{1}\beta )\ldots (\alpha -\theta _{m-1}\beta )\,;\end{aligned}}$