Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 22.djvu/235

$m$ étant l’ordre de l’équation par rapport à $t,$ c’est-à-dire le plus haut exposant de $\operatorname {D} _{t}$ dans $\operatorname {F} (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\operatorname {D} _{z},\ldots \operatorname {D} _{t})\,;$ on posera

(4)

$u=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{\mu '}^{\mu ''}\ldots e^{\alpha (x-\mu )\mathrm {i} }e^{\beta (y-\nu )\mathrm {i} }\ldots \upsilon d\alpha \,d\mu \,d\beta \,d\nu \ldots ,$

et il suffira évidemment d’intégrer l’équation différentielle

(5)

$\operatorname {F} (\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots \operatorname {D} _{t})\upsilon =f(\mu ,\nu \ldots t),$

dans laquelle l’inconnue $\upsilon$ représente une fonction de $t,$ de manière que l’on ait, pour $t=0,$

(6)

$\upsilon =f_{0}(\mu ,\nu \ldots ),\quad {\frac {d\upsilon }{dt}}=f_{1}(\mu ,\nu \ldots ),\ldots \quad {\frac {d^{m-1}\upsilon }{dt^{m-1}}}=f_{m-1}(\mu ,\nu \ldots ).$

Ce dernier problème se résout très-facilement par le paragraphe 4.

Supposons encore que l’on doive avoir

(7)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}{\text{pour }}t=&t_{0},&\operatorname {F} _{0}(\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y}\ldots \operatorname {D} _{t})u=&f_{0}(x,y,z\ldots )\\{\text{pour }}t=&t_{1},&\operatorname {F} _{1}(\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y}\ldots \operatorname {D} _{t})u=&f_{1}(x,y,z\ldots )\\{\text{etc}}\ldots \quad &\\{\text{pour }}t=&t_{m-1},&\qquad \operatorname {F} _{m-1}(\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y}\ldots \operatorname {D} _{t})u=&f_{m-1}(x,y,z\ldots ).\end{alignedat}}\right.$

Dans ce cas il suffira d’intégrer l’équation (5), de manière que l’on ait

(8)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}{\text{pour }}t=&t_{0},&\operatorname {F} _{0}(\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots \operatorname {D} _{t})\upsilon =&f_{0}(\mu ,\nu \ldots ),\\{\text{pour }}t=&t_{1},&\operatorname {F} _{1}(\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots \operatorname {D} _{t})\upsilon =&f_{1}(\mu ,\nu \ldots ),\\{\text{etc}}\ldots \quad &\\{\text{pour }}t=&t_{m-1},&\qquad \operatorname {F} _{m-1}(\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots \operatorname {D} _{t})\upsilon =&f_{m-1}(\mu ,\nu \ldots ).\end{alignedat}}\right.$

Ce problème se résout encore très-simplement par le paragraphe 4^e.

Soient maintenant

(9)

$\varphi _{0}(\alpha ,\beta \ldots ),\qquad \varphi _{1}(\alpha ,\beta \ldots ),\ldots \qquad \varphi _{m-1}(\alpha ,\beta \ldots ),$