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Donc

(61)

${\frac {f(t)}{\operatorname {F} (\alpha )}}={\frac {1}{\operatorname {F} '(\theta _{0})}}{\frac {f(t)}{\alpha -\theta _{0}}}+{\frac {1}{\operatorname {F} '(\theta _{1})}}{\frac {f(t)}{\alpha -\theta _{1}}}+\ldots +{\frac {1}{\operatorname {F} '(\theta _{n-1})}}{\frac {f(t)}{\alpha -\theta _{n-1}}}.$

De plus

(62)

${\frac {f(t)}{\alpha -\theta _{0}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{\theta (t-\tau )\mathrm {i} }{\frac {f(\tau )d\tau \,d\theta }{\theta \mathrm {i} -\theta _{0}}}$

${\begin{aligned}&={\frac {1}{2\pi }}e^{\theta _{0}t}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{(\theta \mathrm {i} -\theta _{0})t}e^{-\theta \tau \mathrm {i} }{\frac {f(\tau )d\tau \,d\theta }{\theta \mathrm {i} -\theta _{0}}}\\&=e^{\theta _{0}t}{\frac {1}{2\pi }}\iint _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{(\theta \mathrm {i} -\theta _{0})t}e^{-\theta \tau \mathrm {i} }f(\tau )d\tau \,d\theta \,dt\\&=e^{\theta _{0}t}{\frac {1}{2\pi }}\iint _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta _{0}t}e^{\theta (t-\tau )\mathrm {i} }f(\tau )d\tau \,d\theta \,dt\\&=e^{\theta _{0}t}\int e^{-\theta _{0}t}f(t)dt,\end{aligned}}$

l’intégration relative à $t$ étant effectuée à partir de la limite qui fait évanouir l’exponentielle $e^{-\theta _{0}t},$ c’est-à-dire, à partir de $t=-\infty$ si la partie réelle de $\theta _{0}$ est positive, et à partir de $t=+\infty$ dans le cas contraire. On aura, par suite, en vertu des équations (59) et (61),

(63)

$u={\frac {1}{\operatorname {F} '(\theta _{0})}}e^{\theta _{0}t}\int e^{-\theta _{0}t}f(t)dt+\ldots +{\frac {1}{\operatorname {F} '(\theta _{n-1})}}e^{\theta _{n-1}t}\int e^{-\theta _{n-1}t}f(t)dt.$

Si à cette valeur de $u,$ dans laquelle chaque intégrale est prise à partir de la limite $-\infty$ ou $+\infty ,$ on ajoute le second membre de l’équation (57), on obtiendra une valeur de même forme, mais dans laquelle chaque signe $\int$ indiquera une intégration indéfinie. Cette nouvelle valeur sera l’intégrale générale de la formule (58).

Si, en supposant toujours la notation

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots )$

définie par l’équation (16) du paragraphe 3^e, on indique par