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Alors l’intégrale en question deviendrait indéterminée, et la différence entre sa valeur générale et sa valeur principale serait un terme de la forme

$ce^{\theta _{m}t-1},$

$c$ désignant une constante arbitraire, et $\theta _{m}$ une racine de l’équation $\operatorname {F} (\theta )=0.$ Si les parties réelles de toutes les racines étaient égales entre elles et à $\Theta ,$ alors

(41)

$u={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{\tau '}^{\tau ''}{\frac {e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )(t-\tau )}}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}f'(\tau )d\tau \,d\theta ,$

représenterait l’intégrale générale de l’équation

(37)

$\operatorname {F} (\alpha )u=f(t).$

En se servant uniquement de la notation de M. Brisson, on peut trouver, de la manière suivante, l’intégrale générale de l’équation (37) sous la forme donnée par ce géomètre.

Supposons l’expression

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots ),$

définie par l’équation (16) du paragraphe 3^e, et soient toujours

$\theta _{0},\qquad \theta _{1},\ldots \qquad \theta _{n-1},$

les racines de l’équation

(49)

$\operatorname {F} (\theta )=0,$

on aura identiquement

(50)

$\operatorname {F} (\alpha )=\mathrm {A} _{n}(\alpha -\theta _{0})(\alpha -\theta _{1})\ldots (\alpha -\theta _{n-1})\,;$

et par suite, $u$ désignant une fonction quelconque de $x,$ on aura, en vertu des principes établis dans le paragraphe 3^e,

(51)

$\operatorname {F} (\alpha )u=\left[\mathrm {A} _{n}(\alpha -\theta _{1})(\alpha -\theta _{2})\ldots (\alpha -\theta _{n-1})\right](\alpha -\theta _{0})u\,;$