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les coefficients de

$f'(t),\qquad f''(t),\ldots \qquad f^{(n-1)}(t)$

sont ce que deviennent les intégrales

$\mathrm {T} _{1},\qquad \mathrm {T} _{2},\ldots \qquad \mathrm {T} _{n-1},$

pour $t=0,$ c’est-à-dire, égaux aux nombres

$0,\qquad 0,\ldots \qquad 0.$

Quant au coefficient de $f(t),$ c’est-à-dire, à l’intégrale

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {A} _{1}+\mathrm {A} _{2}(\Theta +\theta \mathrm {i} )+\ldots +\mathrm {A} _{n}(\Theta +\theta \mathrm {i} )^{n}}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}d\theta \\=&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )-\operatorname {F} (0)}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}{\frac {d\theta }{\Theta +\theta \mathrm {i} }},\end{aligned}}$

il est facile de s’assurer que sa valeur sera indépendante de la quantité $\Theta \,;$ et, comme pour de très-grandes valeurs de $\Theta$ on a sensiblement

${\frac {\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )-\operatorname {F} (0)}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}=1,$

cette même intégrale se réduira sensiblement à

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\theta }{\Theta +\theta \mathrm {i} }}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Theta d\theta }{\Theta ^{2}+\theta ^{2}}}={\frac {1}{2}},$

pourvu que l’on se borne à calculer sa valeur principale, qui est effectivement la limite de

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\varepsilon {\sqrt {\theta ^{2}}}}{\frac {d\theta }{\Theta +\theta \mathrm {i} }}.$

De plus, comme on a généralement

(45)

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{\tau '}^{t}e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )(t-\tau )}f(\tau )d\tau \,d\theta ={\frac {1}{2}}f(t),$

l’équation (44) donnera évidemment

$\operatorname {F} (\alpha )u={\frac {1}{2}}f(t)+{\frac {1}{2}}f(t)=f(t).$