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vant $\Theta$ au lieu de $a$ et $\theta$ au lieu de $\alpha ,$ on trouverait

(41)

$u={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{\tau '}^{\tau ''}e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )(t-\tau )}{\frac {f(\tau )d\tau \,d\theta }{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}},$

$t$ étant renfermée entre les limites $\tau ',\,\tau ''.$ Telle serait une valeur particulière de $u.$ Il suffirait ensuite de poser

(42)

$u={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{\tau '}^{\tau ''}e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )(t-\tau )}{\frac {f(\tau )}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}d\tau \,d\theta +\upsilon ,$

pour obtenir en $\upsilon$ une équation entièrement semblable à l’équation (16).

Il est facile de s’assurer que la formule (41) résout l’équation (37), dans le cas même où l’on pose $\tau '=0,$ $\tau ''=t.$ Soit en effet

(43)

$u={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{t}e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )(t-\tau )}{\frac {f(\tau )d\tau \,d\theta }{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}\,;$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {du}{dt}}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{t}e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )(t-\tau )}{\frac {(\Theta +\theta \mathrm {i} )f(\tau )d\tau \,d\theta }{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}\\&+{\frac {f(t)}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\theta }{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}},\\&{\text{etc}}\ldots ,\end{aligned}}$

et par suite

(44)

$\operatorname {F} (\alpha )u={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{t}e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )(t-\tau )}f(\tau )d\tau \,d\theta$

${\begin{aligned}&+{\frac {1}{2\pi }}\left[\mathrm {A} _{1}f(t)+\mathrm {A} _{2}f'(t)\ \ldots \ +\mathrm {A} _{n}f^{(n-1)}(t)\right]\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\theta }{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}\\&+{\frac {1}{2\pi }}\left[\mathrm {A} _{2}f(t)+\ldots \ldots \ldots \ldots +\mathrm {A} _{n}f^{(n-2)}(t)\right]\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(\Theta +\theta \mathrm {i} )d\theta }{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}\\&{\text{etc}}\ldots \\&+{\frac {1}{2\pi }}\left[\mathrm {A} _{n}f(t)\right]\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(\Theta +\theta \mathrm {i} )^{n-1}d\theta }{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}.\end{aligned}}$

Or, il est clair que, dans le second membre de l’équation (44),