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étant représentés par des intégrales définies semblables à celles que fournissent les formules (34), quand on y pose $t=t_{0}.$

Nous avons, dans ce qui précède, supposé la variable $t$ positive. Si elle devenait négative, il faudrait, pour retrouver la valeur générale de $u,$ remplacer dans l’équation (22) la constante arbitraire $\Theta$ par une limite inférieure aux parties réelles des racines $\theta _{0},\,\theta _{1},\,\ldots ,\theta _{n-1},$ puis dans les formules (24) et (26), les quantités

$u,\qquad u_{0},\qquad u_{1},\ldots \qquad u_{n-1},$

par

$-u,\qquad -u_{0},\qquad -u_{1},\ldots \qquad -u_{n-1}.$

En conséquence, les équations (30), (32), etc…, conserveraient la même forme. Seulement $\Theta$ y aurait changé de valeur.

Il est bon de remarquer que, en vertu des conventions admises dans le paragraphe 3^e, l’équation (16) peut être présentée sous la forme

(36)

$\operatorname {F} (\alpha )u=0.$

Si l’on avait à résoudre l’équation

(37)

$\operatorname {F} (\alpha )u=f(t),$

ou

(38)

$\mathrm {A} _{0}u+\mathrm {A} _{1}{\frac {du}{dt}}+\ldots +\mathrm {A} _{n}{\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}=f(t),$

il est clair qu'une valeur particulière de $u$ serait

(39)

$u={\frac {f(t)}{\operatorname {F} (\alpha )}},$

ou, ce qui revient au même,

(40)

$u={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\tau '}^{\tau ''}e^{\alpha \mathrm {i} (t-\tau )}f(\tau ){\frac {d\tau \,d\alpha }{\operatorname {F} (\alpha \mathrm {i} )}}\,;$

ou bien encore, en remplaçant $\alpha \mathrm {i}$ par $a+\alpha \mathrm {i} ,$ puis écri-