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si l’on remplaçait ensuite les puissances successives de $\mathrm {U} ,$ savoir

$\mathrm {U} ^{0},\qquad \mathrm {U} ^{1},\qquad \mathrm {U} ^{2},\ldots \qquad \mathrm {U} ^{n-1},$

par les quantités

$u_{0},\qquad u_{1},\qquad u_{2},\ldots \qquad u_{n-1},$

déterminées à l’aide des équations (26). On aura donc sous cette condition

(29)

$\varphi (\theta )={\frac {\operatorname {F} (\theta )-\operatorname {F} (\mathrm {U} )}{\theta -\mathrm {U} }}\times {\frac {1}{2\pi }},$

en sorte que la formule (22) donnera

(30)

$u=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}.{\frac {\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )-\operatorname {F} (\mathrm {U} )}{(\Theta +\theta \mathrm {i} )-\mathrm {U} }}{\frac {e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}d\theta }{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}.$

En développant cette dernière formule suivant les puissances entières de $\mathrm {U} ,$ on trouverait

(31)

$u=u_{0}\mathrm {T} _{0}+u_{1}\mathrm {T} _{1}+u_{2}\mathrm {T} _{2}\ldots +u_{n-1}\mathrm {T} _{n-1},$

$\mathrm {T} _{0},\mathrm {T} _{1}\ldots \mathrm {T} _{n-1}$ désignant des fonctions connues de $t,$ représentées par des intégrales définies, savoir

(32)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {T} _{0}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {A} _{1}+\mathrm {A} _{2}(\Theta +\theta \mathrm {i} )\ldots +\mathrm {A} _{n}(\Theta +\theta \mathrm {i} )^{n-1}}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}{\frac {d\theta }{2\pi }},\\&\mathrm {T} _{1}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {A} _{2}+\mathrm {A} _{3}(\Theta +\theta \mathrm {i} )\ldots +\mathrm {A} _{n}(\Theta +\theta \mathrm {i} )^{n-2}}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}{\frac {d\theta }{2\pi }},\\&{\text{etc}}\ldots \\&\mathrm {T} _{n-1}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {A} _{n}}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}{\frac {d\theta }{2\pi }}.\end{aligned}}\right.$

Concevons à présent que l’on désigne par

$\nabla _{0}u,\qquad \nabla _{1}u,\ldots \qquad \nabla _{n-1}u$

des fonctions linéaires de la fonction $u$ et de ses dérivées des divers ordres ${\frac {du}{dt}},\,{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}},$ etc…, en sorte que, $\alpha ={\frac {d}{dt}}$ étant