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Concevons maintenant qu'il s’agisse d’intégrer l’équation différentielle

(16)

$\mathrm {A} _{0}u+\mathrm {A} _{1}{\frac {du}{dt}}u+\ldots +\mathrm {A} _{n}{\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}u=0,$

de manière que l’on ait, pour $t=o,$

(17)

$u=u_{0},\qquad {\frac {du}{dt}}=u_{1},\qquad {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=u_{2},\ldots \qquad {\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}=u_{n-1},$

on fera

(18)

$u=\int _{-\infty }^{\infty }\upsilon e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}d\theta ,$

$\upsilon$ étant une fonction inconnue de $\theta ,$ et $\Theta$ une constante arbitraire. En substituant la valeur précédente de $u$ dans l’équation (16), et posant

(19)

$\operatorname {F} (\theta )=\mathrm {A} _{0}+\mathrm {A} _{1}\theta +\mathrm {A} _{2}\theta ^{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}\theta ^{n},$

on trouvera

(20)

$\int _{-\infty }^{\infty }\upsilon \operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}d\theta =0.$

Or, en vertu des principes ci-dessus établis, on vérifiera l’équation (20), si l’on prend

(21)

$\upsilon \operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )=\varphi (\Theta +\theta \mathrm {i} ),$

$\varphi (x)$ désignant une fonction entière quelconque de $x.$ Par suite, la formule (18) deviendra

(22)

$u=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (\Theta +\theta \mathrm {i} )}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}d\theta .$

Si, dans cette dernière, on suppose la fonction $\varphi (x)$ du degré $n-1,$ et si l’on désigne par

(23)

$\theta _{0},\qquad \theta _{1},\ldots \qquad \theta _{n-1},$

les racines de l’équation $\operatorname {F} (\theta )=o,$ on aura, en prenant pour $\Theta$ une limite supérieure aux parties réelles de toutes