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et par suite

(20)

${\begin{aligned}\varphi (\alpha ,\beta \ldots )\varpi (x,y\ldots )=&\\\quad \left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2n}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ldots &e^{m(\alpha -a)i}e^{n(\beta -b)i}\ldots e^{axi}e^{byi}\ldots e^{-\alpha \mu i}e^{-\beta \nu i}\ldots \\&\operatorname {F} (\alpha i,\beta i\ldots )\varphi (ai,bi\ldots )f(\mu ,\nu \ldots )d\alpha \,d\mu \,da\,dm\ldots \end{aligned}}$

Mais on a encore

(21)

$\left\{{\begin{aligned}\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ldots &e^{\pm m(\alpha -a)i}e^{\pm n(\beta -b)i}\ldots e^{-\alpha \mu i}e^{-\beta \nu i}\ldots \operatorname {F} (\alpha i,\beta i\ldots )d\alpha d\mu \ldots \\&=e^{-\alpha \mu i}e^{-\beta \nu i}\ldots \operatorname {F} (ai,bi\ldots ).\end{aligned}}\right.$

Donc, par suite, l’équation (20) donnera

(22)

$\varphi (\alpha ,\beta \ldots )\varpi (x,y\ldots )=$

$\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ldots e^{a(x-\mu )i}e^{b(y-\nu )i}\ldots \varphi (ai,bi\ldots )\operatorname {F} (ai,bi\ldots )f(\mu ,\nu \ldots )da\,d\mu \,db\,d\nu \ldots$

$=\varphi (\alpha ,\beta \ldots )\operatorname {F} (\alpha ,\beta \ldots )f(x,y\ldots ).$

Par conséquent, $\operatorname {F} (\alpha ,\beta \ldots ),$ $\varphi (\alpha ,\beta \ldots ),$ désignant deux fonctions quelconques de $\alpha ,\beta \ldots$ l’équation (17), savoir

(17)

$\varpi (x,y\ldots )=\operatorname {F} (\alpha ,\beta \ldots )f(x,y\ldots ),$

entraînera toujours la suivante

(18)

$\varphi (\alpha ,\beta \ldots )\varpi (x,y\ldots )=\left[\varphi (\alpha ,\beta \ldots )\operatorname {F} (\alpha ,\beta \ldots )\right]f(x,y\ldots ),$

la fonction $\operatorname {F} (\alpha ,\beta \ldots )f(x,y,z\ldots )$ étant supposée définie par la formule (16).

§ 4. Intégration des équations différentielles linéaires
à coefficients constants.

On a généralement

(1)

$\int \Phi (\Theta +\theta i)e^{(\Theta +\theta i)t}d\theta$

${\begin{aligned}&={\frac {e^{(\Theta +\theta i)^{t}}}{ti}}\Phi (\Theta +\theta i)-{\frac {1}{t}}\int e^{(\Theta +\theta i)t}\Phi '(\Theta +\theta i)d\theta \\&={\frac {e^{(\Theta +\theta i)^{t}}}{i}}\left[{\frac {\Phi (\Theta +\theta i)}{t}}-{\frac {\Phi '(\Theta +\theta i)}{t^{2}}}+{\frac {\Phi ''(\Theta +\theta i)}{t^{3}}}\ldots \right].\end{aligned}}$