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(5)

${\begin{aligned}\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots )=&\\\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iint \ldots e^{\alpha (x-\mu )i}&e^{\beta (y-\nu )i}\ldots f(\mu ,\nu \ldots )F(\alpha i,\beta i\ldots )d\alpha \,d\mu \,d\beta \,d\nu \ldots \end{aligned}}$

$\left\{{\begin{alignedat}{4}\alpha =&-\infty ,\qquad &\mu =\mu ',\qquad \beta =&-\infty ,\qquad &\nu =\nu ',\ldots \\\alpha =&+\infty ,\qquad &\mu =\mu '',\qquad \beta =&+\infty ,\qquad &\nu =\nu '',\ldots \end{alignedat}}\right\}.$

Si, par analogie, l’on étend cette dernière formule au cas où la fonction $\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )$ devient quelconque, il en résultera que l’intégrale

(6)

$\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iint \ldots e^{\alpha (x-\mu )i}e^{\beta (y-\nu )i}\ldots f(\mu ,\nu \ldots )F(\alpha i,\beta i\ldots )d\alpha \,d\mu \,d\beta \,d\nu \ldots$

sera représentée, dans tous les cas possibles, par la notation

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots ).$

Cette convention étant admise, il est facile de voir :

1^o que si l’on a généralement

(7)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )=\phi _{0}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )+\phi _{1}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )+\phi _{2}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )+\ldots$

le second membre de l’équation (7) étant composé d’un nombre fini de termes, on aura aussi

(8)

$\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots )\\=\phi _{0}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )&f(x,y,z\ldots )+\phi _{1}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots )\\&\qquad \qquad \qquad +\phi _{2}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots )+{\text{etc.}}\end{aligned}}\right.$

2^o que l’équation (7) entraînera encore l’équation (8), si la série

(9)

$\phi _{0}(\alpha i,\beta i,\gamma i\ldots ),\quad \phi _{1}(\alpha i,\beta i,\gamma i\ldots ),\quad {\text{etc.,}}$

est convergente pour toutes les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma \ldots$

3^o que l’on vérifiera toujours l’équation

(10)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots )=\Phi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots ),$

en posant

(11)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )=\Phi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots ).$

4^o que si $\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma )$ est une fonction entière, l’on vérifiera