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(19)

${\begin{aligned}f(x,y\ldots )=&\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{-\pi }^{+\pi }\int _{-\pi }^{+\pi }\sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''+1}}\sum \sideset {}{_{\nu '}^{\nu ''+1}}\sum \\&\ldots e^{(a+\alpha i)(x-\mu )}e^{(b+\beta i)(y-\nu )}\ldots f(\mu ,\nu \ldots )d\alpha \,d\beta \ldots ,\end{aligned}}$

(20)

${\begin{aligned}f(x,y\ldots )=&\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{-\pi }^{+\pi }\int _{-\pi }^{+\pi }\sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''+1}}\sum \sideset {}{_{\nu '}^{\nu ''+1}}\sum \\&\ldots e^{\alpha (x-\mu )i}e^{\beta (y-\nu )i}\ldots f(\mu ,\nu \ldots )d\alpha \,d\beta \ldots .\end{aligned}}$

Lorsque, dans les équations (17) et (18), on pose $h=0,$ $k=0,\ldots$ ou retrouve les formules (4) et (3).

Il est encore essentiel de rappeler les formules que nous allons écrire. On a d’abord

(21)

${\frac {\operatorname {f} (x_{0})}{\operatorname {F} '(x_{0})}}+{\frac {\operatorname {f} (x_{1})}{\operatorname {F} '(x_{1})}}+\ldots +{\frac {\operatorname {f} (x_{m-1})}{\operatorname {F} '(x_{m-1})}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }re^{\upsilon i}{\frac {\operatorname {f} \left(re^{\upsilon i}\right)}{\operatorname {F} \left(re^{\upsilon i}\right)}}d\upsilon .$

Cette formule suppose que la fonction $f\left(ue^{\upsilon i}\right)$ ne varie jamais d’une manière brusque, et ne devient pas infinie entre les limites $v=-\pi ,$ $\upsilon =+\pi ,$ $u=0,\,u=r.$ De plus,

$x_{0},\qquad x_{1},\ldots \qquad x_{m-1},$

représentent celles des racines de l’équation

(22)

$\operatorname {F} (x)=0,$

dont les modules, ou les valeurs numériques, sont inférieurs à $r.$

On a encore

(23)

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {f} (x_{0})}{\operatorname {F} '(x_{0})}}+{\frac {\operatorname {f} (x_{1})}{\operatorname {F} '(x_{1})}}+\ldots &+{\frac {\operatorname {f} (x_{m-1})}{\operatorname {F} '(x_{m-1})}}=\\&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }\left[{\frac {\operatorname {f} (u''+\upsilon i)}{\operatorname {F} (u''+\upsilon i)}}-{\frac {\operatorname {f} (u'+\upsilon i)}{\operatorname {F} (u'+\upsilon i)}}\right]d\upsilon ,\end{aligned}}$

lorsque $\operatorname {f} (u+\upsilon i)$ ne devient pas infini et ne varie pas d’une manière brusque entre les limites $u=u',$ $u=u'',$ $\upsilon =-\infty ,$ $\upsilon =+\infty ,$ et s’évanouit pour $\upsilon =\pm \infty ,$ quel que soit $u.$ Dans la formule (23), $x_{0},x_{1},\ldots x_{m-1}$ représentent les racines de l’équation (22), dans lesquelles les parties réelles restent comprises entre les limites $u',u''.$

Lorsque la fonction $\operatorname {f} (u+\upsilon i)$ s’évanouit non-seulement pour $\upsilon =\pm \infty ,$ quel que soit $u,$ mais encore pour