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Pour démontrer toutes les formules qui précèdent, il suffit de développer les sommes indiquées par le signe $\sum ,$ et d’ohserver que l’on a toujours ($m$ étant un nombre entier)

(15)

$\int _{-\pi }^{+\pi }e^{-m\alpha i}d\alpha =\int _{-\pi }^{+\pi }\cos(m\alpha )d\alpha =0,$

excepté dans le cas où l’on suppose $m=0,$ et pour lequel on trouve

(16)

$\int _{-\pi }^{+\pi }e^{0}d\alpha =\int _{-\pi }^{+\pi }d\alpha =2\pi .$

On établirait généralement de la même manière la formule

(17)

${\begin{aligned}f(x,y\ldots )=&\\\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iint &\ldots \sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''+h}}\sum f(\mu )\sideset {}{_{\nu '}^{\nu ''+k}}\sum \\&\ldots e^{(a+\alpha i)(x-\mu )}e^{(b+{\text{ϐ}}i)(y-\nu )}\ldots f(\mu ,\nu \ldots )hk\ldots d\alpha d{\text{ϐ}}\ldots \\&\left\{{\begin{alignedat}{2}\alpha =&-{\frac {\pi }{h}},\qquad &{\text{ϐ}}=&-{\frac {\pi }{k}}\\\alpha =&+{\frac {\pi }{h}},&{\text{ϐ}}=&+{\frac {\pi }{k}}\end{alignedat}}\right\},\end{aligned}}$

${\frac {x}{h}}$ étant un nombre entier, compris entre les deux nombres entiers ${\frac {\mu '}{h}},\,{\frac {\mu ''}{h}}\,;$ ${\frac {y}{k}}$ étant un autre entier compris entre les nombres entiers ${\frac {\nu '}{k}},\,{\frac {\nu ''}{k}}\ldots \,;$ et $a,b\ldots$ désignant des constantes arbitraires; puis on en conclurait : 1^o en réduisant $a,b,\ldots$ à zéro

(18)

${\begin{aligned}f(x,y\ldots )=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iint &\ldots \sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''+h}}\sum f(\mu )\sideset {}{_{\nu '}^{\nu ''+k}}\sum \\&\ldots e^{\alpha i(x-\mu )}e^{{\text{ϐ}}i(y-\nu )}\ldots f(\mu ,\nu \ldots )hk\ldots d\alpha d{\text{ϐ}}\ldots \\&\left\{{\begin{alignedat}{2}\alpha =&-{\frac {\pi }{h}},\qquad &{\text{ϐ}}=&-{\frac {\pi }{k}},\ldots \\\alpha =&+{\frac {\pi }{h}},&{\text{ϐ}}=&+{\frac {\pi }{k}},\ldots \end{alignedat}}\right\}\,;\end{aligned}}$

2^o en réduisant $h,k,\ldots$ à l’unité