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§ 2. Formules de M. Fourier, et autres de même genre^[1].

On a, en vertu du théorème de M. Fourier,

(1)

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\iint e^{\alpha (x-\mu )i}f(\mu )d\alpha \,d\mu \left\{{\begin{alignedat}{2}\alpha =&-\infty ,\ &\alpha =&+\infty ,\\\mu =&\mu ',&\mu =&\mu '',\end{alignedat}}\right.$

$x$ étant renfermé entre les limites $\mu '$ et $\mu ''.$ On peut encore écrire

(2)

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\iint e^{(a+\alpha i)(x-\mu )}f(\mu )d\alpha \,d\mu \left\{{\begin{alignedat}{2}\alpha =&-\infty ,\ &\alpha =&+\infty ,\\\mu =&\mu ',&\mu =&\mu '',\end{alignedat}}\right.$

$a$ étant une constante arbitraire. On trouvera de même

(3)

$f(x,y,z\ldots )=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iint \ldots e^{\alpha (x-\mu )i}\ldots f(\mu ,\nu \ldots )d\alpha \,d\mu ,\,d{\text{ϐ}},\,d\nu \ldots$

et

(4)

${\begin{aligned}f(x,y,z\ldots )=&\\\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iint &\ldots e^{(a+\alpha i)(x-\mu )}e^{(b+{\text{ϐ}}i)(y-\nu )}\ldots f(\mu ,\nu \ldots )d\alpha \,d\mu ,\,d{\text{ϐ}},\,d\nu \ldots \\&\left\{{\begin{alignedat}{4}\alpha =&-\infty ,\quad &\mu =&\mu ',\quad &{\text{ϐ}}=&-\infty ,\quad &\nu =&\nu '\ \ldots ,\\\alpha =&+\infty ,&\mu =&\mu '',&{\text{ϐ}}=&+\infty ,&\nu =&\nu ''\ldots ,\end{alignedat}}\right.\end{aligned}}$

$n$ étant le nombre des variables $x,\,y,\,z\ldots$ et $a,\,b\ldots$ des constantes arbitraires.

On a encore, $x,\mu ',\mu ''$ étant des nombres entiers,

(5)

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }\sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''+1}}\sum e^{\upsilon (x-\mu )i}f(\mu )d\upsilon ,$

$\sideset {}{_{\mu '}^{\mu ''}}\sum$ désignant une somme de la forme

1. Dans l’impression de ce paragraphe et des suivants, j’ai cru devoir, pour la commodité du lecteur, me conformer à l’usage maintenant adopté par les géomètres, en substituant partout la lettre $i$ au signe algébrique ${\sqrt {-1}},$ employé dans le manuscrit.