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comme fonction génératrice de $y_{x+1},$ tandis qu'en remplaçant dans la série (1)

$y_{0}$ par $y_{1},\quad y_{1}$ par $y_{2},\ldots \quad$ et généralement $\quad y_{x}$ par $y_{x+1},$

on trouverait simplement

(6)

$y_{1}+y_{2}t+\ldots +y_{x+1}t^{x}$

pour fonction génératrice de $y_{x+1}.$ On ne peut lever cette difficulté qu'en admettant, pour chaque valeur de $f(x),$ une infinité de fonctions génératrices, telles que

${\begin{aligned}&y_{0}+y_{1}t+y_{2}t^{2}+\ldots +y_{x}t^{x}\ldots \\&{\frac {y_{-1}}{t}}+y_{0}+y_{1}t+y_{2}t^{2}+\ldots +y_{x}t^{x}\ldots \\&{\frac {y_{-2}}{t^{2}}}+{\frac {y_{-1}}{t}}+y_{0}+y_{1}t+y_{2}t^{2}+\ldots +y_{x}t^{x}+{\text{etc}}\ldots \end{aligned}}$

ou même, en prenant pour fonction génératrice, ainsi qu'on l’a proposé, la somme de la série

(7)

$y_{-\infty }t^{-\infty }+\ldots +y_{-1}t^{-1}+y_{0}t^{0}+y_{1}t^{1}+y_{2}t^{2}\ldots +y_{\infty }t^{\infty }\ldots$

Cette dernière série devra nécessairement être employée si l’on veut que la fonction génératrice de $y_{-x}$ soit représentée par $ut^{x}.$ Or, il arrive malheureusement que la série (7) est généralement divergente et n’a pas de somme.

Quant aux résultats déduits du calcul des fonctions génératrices, à l’égard des équations linéaires aux différences finies ou infiniment petites, on peut les établir directement, comme nous le ferons dans les paragraphes qui suivent.