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$A,\,B,\,C,\ u,\,v,\,w,\,s$ désignant des constantes, dont chacune pourra être en partie réelle, en partie imaginaire. En conséquence, on pourra supposer

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}A=&{\mathfrak {a}}+\mathrm {ai} ,\qquad &B=&{\mathfrak {b}}+\mathrm {bi} ,\qquad &C=&{\mathfrak {c}}+\mathrm {ci} ,\\u=&{\mathfrak {u}}+\mathrm {ui} ,&v=&{\mathfrak {v}}+\mathrm {vi} ,&w=&{\mathfrak {w}}+\mathrm {wi} ,\\&&s=&{\mathfrak {s}}+\mathrm {si} ,\end{alignedat}}\right.$

${\mathfrak {a,\,b,\,c,\,u,\,v,\,w,\,s}}\,;$ $\mathrm {a,\,b,\,c,\,u,\,v,\,w,\,s} \,;$ étant des quantités réelles, et $i$ une racine carrée de $-1.$ Soient maintenant $\alpha ,{\text{ϐ}},\gamma$ des constantes réelles, choisies de manière à vérifier simultanément les deux conditions

(3)

${\mathfrak {a}}\alpha +{\mathfrak {b}}{\text{ϐ}}+{\mathfrak {c}}\gamma =0,\qquad \mathrm {a} \alpha +\mathrm {b} {\text{ϐ}}+\mathrm {c} \gamma =0\,;$

on aura encore

(4)

$A\alpha +B{\text{ϐ}}+C\gamma =0.$

Or, de cette deuxième formule, jointe aux équations (1), on tirera

(5)

$\alpha {\overline {\xi }}+{\text{ϐ}}{\overline {\eta }}+\gamma {\overline {\zeta }}=0,$

par conséquent

(6)

$\alpha \xi +{\text{ϐ}}\eta +\gamma \zeta =0,$

et l’on conclura de la formule (5) que chaque molécule d’éther décrit une courbe plane, dont le plan est perpendiculaire à la droite, représentée par l’équation

(7)

${\frac {x}{\alpha }}={\frac {y}{\text{ϐ}}}={\frac {z}{\gamma }}.$

D'autre part, l’exponentielle $e^{ux+vy+wz-st},$ qui caractérise le mouvement simple, représenté symboliquement par les équations (1), se décompose, en vertu des formules (3), en deux facteurs, dont l’un $e^{ux+vy+wz-st}$ est le module du mouvement simple, tandis que l’autre, $e^{(ux+vy+wz-st)i},$ se