Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 22.djvu/181

Donc $s$ sera compris entre les limites

(18)

$\mu {\frac {n\varsigma }{2\mathrm {B} }},\qquad \mu {\frac {n\varsigma }{2\mathrm {C} }}.$

D'ailleurs, le polyèdre ci-dessus mentionné étant convexe et renfermé entre les sphères décrites avec les rayons

$r,\qquad r(1+\varepsilon ),$

la surface $n\varsigma$ du polyèdre sera comprise entre les limites

$4\pi r^{2},\qquad 4\pi r^{2}(1+\varepsilon )^{2},$

et ses projections $\mathrm {B,\,C}$ seront renfermées entre les surfaces des grands cercles

$\pi r^{2},\qquad \pi r^{2}(1+\varepsilon )^{2}.$

Donc les expressions (18) seront comprises entre les limites

$\mu {\frac {4\pi r^{2}}{2\pi r^{2}(1+\varepsilon )^{2}}},\qquad \mu {\frac {4\pi r^{2}(1+\varepsilon )^{2}}{2\pi r^{2}}},$

ou, ce qui revient au même, entre les limites

${\frac {2\mu }{(1+\varepsilon )^{2}}},\qquad 2\mu (1+\varepsilon )^{2},$

qui, l’une et l’autre, diffèrent très-peu de $2\mu ,$ quand $\varepsilon$ est très-petit et, si l’on prend $2\mu$ pour valeur approchée de $s,$ l’erreur commise ne dépassera pas le produit de $2\mu$ par la plus grande des différences

$1-{\frac {1}{(1+\varepsilon )^{2}}},\qquad (1+\varepsilon )^{2}-1,$

c’est-à-dire, par l’expression (16). Le théorème 5 étant ainsi démontré pour le cas où la quantité $S$ se réduit à une surface plane $s,$ il suffira, pour le démontrer dans le cas con-