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$r,\qquad r(1+\varepsilon ),$

\varepsilon désignant une quantité positive, et nommons $M$ la moyenne arithmétique entre les $n$ valeurs de $A,$ correspondantes aux plans de ces mêmes faces. On aura sensiblement, pour de petites valeurs de \varepsilon,

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$S=2M,$

et l’erreur que l’on commettra en prenant $2M$ pour valeur approchée de $S,$ sera inférieure au produit de $2M$ par la différence

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$(1+\varepsilon )^{2}-1.$

Démonstration. Soient $s$ une surface plane renfermée dans un plan quelconque, $a$ la projection absolue de $s$ sur le plan d’une face du polyèdre, et \mu la moyenne arithmétique entre les $n$ valeurs de $a$ qui correspondent aux plans des différentes faces. Si la surface $s$ est équivalente à l’aire $\varsigma$ de chaque face du polyèdre, $a$ représentera non seulelement la projection absolue de $s$ sur le plan d’une face, mais aussi la projection de cette face sur le plan de $s,$ et par suite $n\mu$ sera le double de la projection absolue du polyèdre sur le plan de $s.$ Cela posé, soient

$\mathrm {B,\,C} ,$

la plus petite et la plus grande des valeurs que puisse acquérir la projection du polyèdre sur un plan quelconque. On aura, dans l’hypothèse admise,

$n\mu >2\mathrm {B} ,\qquad n\mu <2\mathrm {C} ,$

et, si $s$ cesse d’être équivalent à $\varsigma ,$ $n\mu$ se trouvera compris entre les limites

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${\frac {2s\mathrm {B} }{\varsigma }},\qquad {\frac {2s\mathrm {C} }{\varsigma }}.$