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où la quantité $S$ se réduit à une longueur rectiligne $s,$ il suffira, pour le démontrer dans le cas contraire, de décomposer $S$ en éléments infiniment petits.

Corollaire premier. La valeur approchée de $S$ étant calculée à l’aide de la formule (2), l’erreur commise ne dépassera pas la neuvième partie de cette valeur, si l’on prend $n=3,$ la vingt-cinquième partie, si l’on prend $n=5,$ et la centième partie si l’on prend $n=10.$ Dans le premier et le second cas, M sera la moyenne arithmétique entre les sommes des projections des éléments de $S$ sur trois ou cinq droites respectivement parallèles aux côtés d’un hexagone ou d’un décagone régulier.

Exemple. Si la longueur $S$ est égale et parallèle à l’un des côtés d’un hexagone régulier, on trouvera $M={\frac {2}{3}}S,$ et par suite

${\frac {\pi }{2}}M={\frac {\pi }{3}}S=1{,}047S.$

Or, la différence entre le nombre $1{,}047\ldots$ et l’unité est effectivement inférieure à ${\frac {1}{9}}$.

Corollaire II. Si le nombre $n$ devient infini, on aura évidemment

(6)

$M={\frac {\int _{-\pi }^{\pi }Adp}{\int _{-\pi }^{\pi }dp}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }Adp,$

et la formule (2) se réduira, comme on devait s’y attendre, à la formule (1).

On déduit immédiatement du théorème 2 un troisième théorème, qu'on peut énoncer comme il suit