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et que ces deux différences, pour $n=$ ou $>3,$ deviennent l’une et l’autre inférieures à ${\frac {1}{n^{2}}}.$ Effectivement, si l’on nomme $\theta$ un nombre compris entre les limites $0,1,$ on aura, en vertu de formules connues,

$\sin x=x-x^{3}{\frac {\cos \theta x}{6}},\qquad -{\frac {1}{x^{2}}}\left({\frac {\sin x}{x}}-1\right)={\frac {\cos \theta x}{6}},$

puis on en conclura, en posant $x={\frac {\pi }{n}},$

$n'\left[1-{\frac {\sin {\cfrac {\pi }{2n}}}{\left({\cfrac {\pi }{2n}}\right)}}\right]={\frac {\pi ^{2}}{2n}}\cos \theta x<{\frac {\pi ^{2}}{24}}<1.$

D’autre part, le développement de $\operatorname {tang} x$ suivant les puissances ascendantes de $x,$ ne renfermant que des termes positifs pour $x>0,$ et subsistant pour toutes les valeurs de $x$ inférieures à ${\frac {\pi }{2}},$ la fonction

${\frac {1}{x^{2}}}\left({\frac {\operatorname {tang} x}{x}}-1\right)$

croîtra avec $x$ depuis $x=0$ jusqu’à $x={\frac {\pi }{2}},$ et par suite le produit

$n'\left[{\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\pi }{2n}}}{\left({\cfrac {\pi }{2n}}\right)}}-1\right]$

décroitra pour des valeurs croissantes de $n.$ Or, pour $n=3,$ ce produit devient

${\frac {9}{\pi }}\left(2{\sqrt {3}}-\pi \right)<3\left(2{\sqrt {3}}-\pi \right)={\sqrt {108}}-3\pi <1.$

Le théorème 2 étant ainsi démontré pour le cas particulier