son intégrale complète est
![{\displaystyle u=\varphi \left(x-t{\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\right)+\psi \left(x+t{\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23de6e4fc5512a2e748dfdccc48a00119ac4dd6)
et
désignant les deux fonctions arbitraires. On en déduit, pour la vîtesse et la dilatation de la tranche fluide qui répond à la distance quelconque ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dt}}=&-\left(\varphi '\left(x-t{\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\right)-\psi '\left(x+t{\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\right)\right){\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}},\\{\frac {du}{dx}}=&\left(\varphi '\left(x-t{\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\right)+\psi '\left(x+t{\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\right)\right){\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f736e14fa9c01c13ed26920fc43e320185bc2b5)
où l’on a fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dx}}=\varphi ',\qquad {\frac {d\psi }{dx}}=\psi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb2b768cb7d2eace17a2b9b52c4ff4bdc27c9cf)
(49) Le coëfficient du temps sous les fonctions arbitraires, exprimera la vîtesse avec laquelle le mouvement se propage dans le liquide que l’on considère ; en sorte qu’en appelant
cette vîtesse, on aura
![{\displaystyle a'={\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5615d0d9b8d78c3dd81295cd2ee158e96273e40)
Elle dépendra donc de la quantité
or, on peut déterminer la valeur de
d’après la contraction de l’eau pour une augmentation donnée de pression ; car, en représentant par
la hauteur d’une colonne d’eau sous une pression connue, et désignant par
la petite diminution de cette hauteur, pour une augmentation
de pression, on conclura, de l’expression générale de ![{\displaystyle p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393fcf18074cb42eafb26b76c515a1e93e17512c)
![{\displaystyle \Delta =\beta {\frac {\varepsilon }{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c61aa8bf11df71323b2401f4f4c0d340901bee)