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entre $+1$ et $-1\,;$ et elles ne peuvent atteindre ces limites, que quand on a $k=\infty \,:$ donc, excepté ce cas particulier, leurs puissances diminueront indéfiniment, à mesure que leurs exposans deviendront plus grands.

En résolvant cette même équation, on a

$u={\frac {1-c\pm {\sqrt {(1-c)^{2}-(1+c)^{2}\left(1-k^{2}\right)}}}{(1+c)(1+k)}}\,;$

ses racines seront donc imaginaires, lorsqu’on aura $(1-c)^{2}<(1+c)^{2}\left(1-k^{2}\right)\,;$ ce qui suppose $k<1.$ Si l’on désigne alors par $\omega$ un angle réel, on pourra supposer

${\frac {1-c}{(1+c){\sqrt {1-k^{2}}}}}=cos.\omega \,;$

et les deux racines deviendront

$u={\sqrt {\frac {1-k}{1+k}}}\left(cos.\omega \pm sin.\omega {\sqrt {-1}}\right)\,;$

d’où il résulte

$u'=\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)^{\frac {1}{2}}\left(cos.i\omega \pm sin.i\omega {\sqrt {-1}}\right).$

Or, $k$ étant toujours une quantité positive, ${\frac {1-k}{1+k}}$ est une fraction ; par conséquent, cette valeur de $u$ sera nulle ou insensible, quand l’exposant $i$ sera un très-grand nombre : il en faut seulement excepter le cas où l’on aurait $k=0\,;$ car alors les valeurs de $u',$ correspondantes à une suite d’exposans croissans, seraient périodiques, au lieu d’être continuellement décroissantes.

On vérifie par-là, que les termes de la valeur complète de $\operatorname {F} y,$ qui dépendent de l’état initial du fluide, finissent