entre
et
et elles ne peuvent atteindre ces limites, que quand on a
donc, excepté ce cas particulier, leurs puissances diminueront indéfiniment, à mesure que leurs exposans deviendront plus grands.
En résolvant cette même équation, on a
![{\displaystyle u={\frac {1-c\pm {\sqrt {(1-c)^{2}-(1+c)^{2}\left(1-k^{2}\right)}}}{(1+c)(1+k)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04fdc3acc768b8664a64f4433070210ada97019e)
ses racines seront donc imaginaires, lorsqu’on aura
ce qui suppose
Si l’on désigne alors par
un angle réel, on pourra supposer
![{\displaystyle {\frac {1-c}{(1+c){\sqrt {1-k^{2}}}}}=cos.\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a895ab65430b5ecfaf9c64096b5be9a9e54a49)
et les deux racines deviendront
![{\displaystyle u={\sqrt {\frac {1-k}{1+k}}}\left(cos.\omega \pm sin.\omega {\sqrt {-1}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e86d2780d6a9a0c636d7d60accaffc1914486f)
d’où il résulte
![{\displaystyle u'=\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)^{\frac {1}{2}}\left(cos.i\omega \pm sin.i\omega {\sqrt {-1}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e4a96257344274f0a971f727ee3561373991d0)
Or,
étant toujours une quantité positive,
est une fraction ; par conséquent, cette valeur de
sera nulle ou insensible, quand l’exposant
sera un très-grand nombre : il en faut seulement excepter le cas où l’on aurait
car alors les valeurs de
correspondantes à une suite d’exposans croissans, seraient périodiques, au lieu d’être continuellement décroissantes.
On vérifie par-là, que les termes de la valeur complète de
qui dépendent de l’état initial du fluide, finissent