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du second ordre, est de la forme :

$\operatorname {F} _{1}(z+2il)=\mathrm {Z} p'+\mathrm {Z} 'p^{'i}\,;$

$p$ et $p'$ étant les deux racines de l’équation

$(1+c)(1+k)u^{2}-2(1-c)u+(1+c)(1-k)=0,$

et $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {Z} '$ désignant deux quantités indépendantes de $i,$ mais qui pourront dépendre de la quantité $z.$ On peut aisément s’assurer, par les formules du n^o 31, que les valeurs de la fonction $\operatorname {F}$ sont connues, d’après l’état initial du fluide, pour toutes les valeurs de la variable, comprises entre zéro et $2(l+l'),$ ou $4l\,;$ les valeurs de $\operatorname {F} z$ et $\operatorname {F} (z+2l)$ sont donc censées données, et, par suite, celles de $\operatorname {F} _{1}z$ et $\operatorname {F} _{1}(z+2l),$ lesquelles pourront servir à déterminer $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {Z} '$ en fonctions de $z.$ Mais cette détermination serait inutile à l’objet que nous nous proposons ; il nous suffira de prouver que les puissances $p'$ et $p^{'i}$ deviennent à très-peu-près nulles, lorsque l’exposant $i$ est devenu un très-grand nombre.

Or, si l’on fait $u=1+u'$ l’équation précédente devient :

$(1+c)(1+k)u^{'2}+2\left(2c+k(1+c)\right)u'+4c=0\,;$

et comme $c$ et $k$ sont des quantités positives, il s’ensuit que $u'$ ne pourra pas être une quantité positive ; par conséquent, $u$ ne saurait avoir une valeur réelle, plus grande que l’unité. On prouvera semblablement que $u$ ne peut être négative et plus grande que l’unité, abstraction faite du signe. Si la quantité $k$ est infinie, l’équation qui détermine $u$ se reduit à $u^{2}-1=0,$ et donne $u=\pm 1\,;$ mais, pour toute autre valeur de $k,$ on ne satisfait point à cette équation, au moyen de $u=\pm 1.$ Ses racines réelles, lorsqu’elle en a, sont donc comprises