du second ordre, est de la forme :
![{\displaystyle \operatorname {F} _{1}(z+2il)=\mathrm {Z} p'+\mathrm {Z} 'p^{'i}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f931f9dc03484769deff7f4bf27858ffdcd612)
et
étant les deux racines de l’équation
![{\displaystyle (1+c)(1+k)u^{2}-2(1-c)u+(1+c)(1-k)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e16ea76a556731ff77bdb5ad8839716ff838d6e)
et
et
désignant deux quantités indépendantes de
mais qui pourront dépendre de la quantité
On peut aisément s’assurer, par les formules du no 31, que les valeurs de la fonction
sont connues, d’après l’état initial du fluide, pour toutes les valeurs de la variable, comprises entre zéro et
ou
les valeurs de
et
sont donc censées données, et, par suite, celles de
et
lesquelles pourront servir à déterminer
et
en fonctions de
Mais cette détermination serait inutile à l’objet que nous nous proposons ; il nous suffira de prouver que les puissances
et
deviennent à très-peu-près nulles, lorsque l’exposant
est devenu un très-grand nombre.
Or, si l’on fait
l’équation précédente devient :
![{\displaystyle (1+c)(1+k)u^{'2}+2\left(2c+k(1+c)\right)u'+4c=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2a46fa213f9cea77c3760a465d622ab68d28e4)
et comme
et
sont des quantités positives, il s’ensuit que
ne pourra pas être une quantité positive ; par conséquent,
ne saurait avoir une valeur réelle, plus grande que l’unité. On prouvera semblablement que
ne peut être négative et plus grande que l’unité, abstraction faite du signe. Si la quantité
est infinie, l’équation qui détermine
se reduit à
et donne
mais, pour toute autre valeur de
on ne satisfait point à cette équation, au moyen de
Ses racines réelles, lorsqu’elle en a, sont donc comprises