Il est aisé maintenant de former les valeurs des fonctions qui entrent dans les expressions de
et
du no 29, et d’obtenir ces quatre quantités : après quelques réductions, on trouve qu’elles deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}v=&{\frac {h}{g}}\left((1+c)cos.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}-(1-c)cos.{\frac {2\pi (l-l'-x)}{\lambda }}\right)sin.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }},\\as=&{\frac {h}{g}}\left((1+c)sin.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}-(1-c)sin.{\frac {2\pi (l-l'-x)}{\lambda }}\right)cos.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }},\\v'=&{\frac {2h}{g}}cos.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}sin.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }},\\as'=&{\frac {2h}{g}}sin.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}cos.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ac1ea7edbf6f018fae9b0256a4c9530a5a0d13)
et l’on devra ne pas oublier que ces valeurs n’ont lieu qu’à partir de l’époque où le mouvement du fluide est devenu régulier et indépendant de son état initial.
Par un calcul semblable, et en employant les valeurs de
et de
qui se rapportent au cas du tube fermé, on obtiendra les expressions de
et
relatives à ce tube et à cette même époque ; ce second calcul donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}v=&{\frac {h}{g'}}\left((1+c)sin.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}+(1-c)sin.{\frac {2\pi (l-l'-x)}{\lambda }}\right)sin.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }},\\as=&-{\frac {h}{g'}}\left((1+c)cos.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}+(1-c)cos.{\frac {2\pi (l-l'-x)}{\lambda }}\right)cos.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }},\\v'=&{\frac {2h}{g'}}sin.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}sin.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }},\\as'=&-{\frac {2h}{g'}}cos.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}cos.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa85f4c421d033311de48263f00c5981c3055223)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle (1+c)sin.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}+(1-c)sin.{\frac {2\pi (l-l'-x)}{\lambda }}=g'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284afd0415a15de6a1a5bdf0028c4fd25a6f699d)