Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 2.djvu/533

Il est aisé maintenant de former les valeurs des fonctions qui entrent dans les expressions de $v,\,as,\,v'$ et $as'$ du n^o 29, et d’obtenir ces quatre quantités : après quelques réductions, on trouve qu’elles deviennent

${\begin{aligned}v=&{\frac {h}{g}}\left((1+c)cos.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}-(1-c)cos.{\frac {2\pi (l-l'-x)}{\lambda }}\right)sin.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }},\\as=&{\frac {h}{g}}\left((1+c)sin.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}-(1-c)sin.{\frac {2\pi (l-l'-x)}{\lambda }}\right)cos.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }},\\v'=&{\frac {2h}{g}}cos.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}sin.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }},\\as'=&{\frac {2h}{g}}sin.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}cos.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }}\,;\end{aligned}}$

et l’on devra ne pas oublier que ces valeurs n’ont lieu qu’à partir de l’époque où le mouvement du fluide est devenu régulier et indépendant de son état initial.

Par un calcul semblable, et en employant les valeurs de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {B}$ qui se rapportent au cas du tube fermé, on obtiendra les expressions de $v,\,as,\,v'$ et $as',$ relatives à ce tube et à cette même époque ; ce second calcul donne

${\begin{aligned}v=&{\frac {h}{g'}}\left((1+c)sin.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}+(1-c)sin.{\frac {2\pi (l-l'-x)}{\lambda }}\right)sin.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }},\\as=&-{\frac {h}{g'}}\left((1+c)cos.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}+(1-c)cos.{\frac {2\pi (l-l'-x)}{\lambda }}\right)cos.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }},\\v'=&{\frac {2h}{g'}}sin.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}sin.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }},\\as'=&-{\frac {2h}{g'}}cos.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}cos.{\frac {2\pi \,at}{\lambda }}\,;\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger,

$(1+c)sin.{\frac {2\pi (l+l'-x)}{\lambda }}+(1-c)sin.{\frac {2\pi (l-l'-x)}{\lambda }}=g'.$