![{\displaystyle f'(l+l'-y)-\operatorname {F} '(l+l'+y)=k\left(f'(l+l'-y)+\operatorname {F} '(l+l'+y)\right)\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2091947ead191a4159f340996b6d2ec69ec02b92)
comme elle a lieu pour toutes les valeurs positives de
on y peut mettre
à la place de
et alors on en déduit
![{\displaystyle f'(l-y)={\frac {1+k}{1-k}}\operatorname {F} '(l+2l'+y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b667e988682911cc46e8d3af4f1b490e569316b)
D’ailleurs, les équations (12) donnent
![{\displaystyle \left.{\begin{alignedat}{2}2cf'(l-y)&=(1+c)f(l-y)&&+(1-c)\operatorname {F} (l+y),\\2c\operatorname {F} '(l+y)&=(1-c)f(l-y)&&+(1+c)\operatorname {F} (l+y)\,;\end{alignedat}}\right\}(13)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2435d1f2b4f6d790801fb978bc49f4343bc998ba)
mettant donc
à la place de
dans la seconde, et éliminant ensuite les fonctions
et
entre ces deux équations et la précédente, il vient
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}(1+c)(1-k)f(l-y)-(1-c)(1+k)f(l-2l'-y)=\quad &\\(1+c)(1+k)\operatorname {F} (l+2l'+y)-(1-c)(1-k)\operatorname {F} (1+y).&\end{aligned}}\right\}(14)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b3e90b39bdd4a2b40ff0e31ce28c632c6ee1e3)
Représentons par
la vîtesse de la première tranche fluide, que nous regardons comme donnée arbitrairement pendant toute la durée du mouvement ; cette tranche étant celle qui répond à
nous aurons
![{\displaystyle f(-y)+\operatorname {F} y=\varphi t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2358bb0b7dc9d25e746b11efd00dd94a02d4e7a3)
Substituant
à la place de
ou
à la place de
ce qui est permis, on aura
![{\displaystyle f(-y-2l')+\operatorname {F} (y+2l')=\varphi \left({\frac {at+2l'}{a}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54eee12d26fe22d357c2d08928ab0181b1aaeb7b)
et si l’on met de même
à la place de
dans l’équation
on pourra ensuite éliminer
et ![{\displaystyle f(-y-2l'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42cbc24ccd4463f3e8ce4413926a2a286ed7b214)