cette équation devient
![{\displaystyle \operatorname {F} \left(2(i+1)l+z\right)=b^{i+1}\operatorname {F} z-{\frac {\left(1-b^{i+1}\right)bp}{1-b}}-{\frac {(-1)^{i}\left(1-(-b)^{i+1}\right)bq}{1+b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6dbaea2cd32380b2f74b8ba63457475cc97a034)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \varphi \left({\frac {z}{a}}\right)+\varphi \left({\frac {2l+z}{a}}\right)=2p,\qquad \varphi \left({\frac {z}{a}}\right)-\varphi \left({\frac {2l+z}{a}}\right)=2q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b93fbf135cfb30d259bd920f37f3e9496c2a118)
Lorsque
sera devenu un très-grand nombre, on pourra supprimer les termes qui contiennent la puissance
de
le mouvement sera alors indépendant de l’état initial du fluide ; et, en remettant pour 6 sa valeur, on aura simplement
![{\displaystyle \operatorname {F} \left(2(i+1)l+z\right)={\frac {(1-k)p}{2}}+{\frac {(-1)^{i}(1-k)q}{2k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a5b89847e24bd60bb5a0cc64faf5a1ea207e52)
Les valeurs de la fonction
données par cette équation, redeviendront les mêmes toutes les fois que
augmentera de deux unités, c’est-à-dire lorsque
augmentera de
ou
de
en vertu des équations
les valeurs de
et de
suivent les mêmes lois que celles de cette fonction ; le fluide fera donc, comme sa première tranche, des oscillations isochrones dont la durée sera égale à
Mais ce mouvement ne sera conforme à l’hypothèse du no 2, qu’autant que que l’une ou l’autre des quantités
et
sera égale à zéro : la première, dans le cas du tube fermé à l’extrémité du tube qui répond à
et la seconde, dans le cas du tube ouvert ; car, sans cela, les valeurs de la fonction
et par suite celles de
et de
deviendraient extrêmement grandes, à cause de la quantité
que nous supposons très-grande dans le premier cas, et très-petite dans le second (no 18).
On fera donc
dans le cas du tube ouvert ; ce qui