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coëfficient $k$ étant le même qu’à l’autre bout du tube. Or, il est aisé de vérifier que, de cette manière, le mouvement du fluide décroîtrait continuellement et finirait par s’anéantir.

En effet, en faisant $x=0,$ dans les équations $(8),$ et ensuite $as=-kv,$ on en déduit

$\operatorname {F} (2l+at)=\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)\operatorname {F} (at)\,;$

posant donc, comme plus haut,

$at=2il+z,\qquad {\frac {k-1}{1+k}}=b\,;$

cette équation devient

$\operatorname {F} \left(2(i+1)1+z\right)=b^{2}\operatorname {F} (2il+z)\,;$

et l’on en conclut

$\operatorname {F} \left(2(i+1)l+z\right)=b^{2+2i}\operatorname {F} z\,;$

résultat qui montre que les valeurs de la fonction $\operatorname {F} ,$ et par suite les valeurs de $v$ et de $s$ données par les équations $(8),$ forment des progressions géométriques décroissantes, dont le rapport est $b,$ le temps croissant par différences constantes et égales à ${\frac {2l}{a}}.$

(22) Pour second exemple, supposons que la première tranche fluide exécute chaque vibration dans un intervalle de temps égal à ${\frac {4l}{a}}\,;$ de manière que $\varphi t$ reprenne la même valeur et le même signe, toutes les fois que $t$ augmente de cette quantité. Les valeurs de cette fonction qui entrent dans le second membre de l’équation $(9),$ seront toutes égales à $\varphi \left({\frac {z}{a}}\right),$ ou à $\varphi \left({\frac {2l+z}{a}}\right)\,;$ et l’on trouvera facilement que