coëfficient
étant le même qu’à l’autre bout du tube. Or, il est aisé de vérifier que, de cette manière, le mouvement du fluide décroîtrait continuellement et finirait par s’anéantir.
En effet, en faisant
dans les équations
et ensuite
on en déduit
![{\displaystyle \operatorname {F} (2l+at)=\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)\operatorname {F} (at)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb270afc820b32ef5fad20328791fb380912b6b)
posant donc, comme plus haut,
![{\displaystyle at=2il+z,\qquad {\frac {k-1}{1+k}}=b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3b9ea5463f9ac168aa449bfe1fe1ac6611fc7b)
cette équation devient
![{\displaystyle \operatorname {F} \left(2(i+1)1+z\right)=b^{2}\operatorname {F} (2il+z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33bfff6cbf3fc43497bbc90d0359a5a4d4998ea)
et l’on en conclut
![{\displaystyle \operatorname {F} \left(2(i+1)l+z\right)=b^{2+2i}\operatorname {F} z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ec9d4843225e53007e9481af5fddc3df15fe73)
résultat qui montre que les valeurs de la fonction
et par suite les valeurs de
et de
données par les équations
forment des progressions géométriques décroissantes, dont le rapport est
le temps croissant par différences constantes et égales à ![{\displaystyle {\frac {2l}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af9e1be94dbc9a87214cb78a8be4588e25f3e42)
(22) Pour second exemple, supposons que la première tranche fluide exécute chaque vibration dans un intervalle de temps égal à
de manière que
reprenne la même valeur et le même signe, toutes les fois que
augmente de cette quantité. Les valeurs de cette fonction qui entrent dans le second membre de l’équation
seront toutes égales à
ou à
et l’on trouvera facilement que