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d’un multiple de cette quantité. Les valeurs de la fonction \varphi, qui entrent dans le second membre de l’équation $(9),$ seront toutes égales entre elles ; il en résultera une progression géométrique ; et, en en faisant la somme, on aura

$\operatorname {F} \left(2(i+1)l+z\right)=b^{i+1}\operatorname {F} z-{\frac {b\left(1-b^{i+1}\right)}{1-b}}\varphi \left({\frac {z}{a}}\right).$

Or, $k$ étant une quantité positive, la quantité représentée par $b$ est plus petite que l’unité, abstraction faite du signe ; après un très-grand nombre d’oscillations marqué par $i,$ la puissance $i$ de $b$ sera donc très-petite et tout-à-fait négligeable ; et, vu la rapidité des vibrations des corps sonores, cela arrivera après un intervalle de temps qui sera, en général, peu considérable. Ainsi, au bout d’un certain temps, la quantité $\operatorname {F} z,$ qui dépend de l’état initial du fluide, disparaîtra de l’équation précédente ; de manière que le mouvement du fluide se trouvera alors indépendant de cet état. De plus, cette équation se réduira, sans erreur sensible, à

$\operatorname {F} (2(i+1)l+z)=-{\frac {b}{1-b}}\varphi \left({\frac {z}{a}}\right)\,;$

donc, en y substituant pour $b$ sa valeur, remettant $at$ à la place de $2il+z,$ et observant que

$\varphi \left({\frac {z}{a}}\right)=\varphi \left({\frac {2il+z}{a}}\right)=\varphi t,$

il en résultera

$\operatorname {F} (at+2l)={\frac {1-k}{2}}\varphi t\,;$

ce qui montre que les valeurs de la fonction $\operatorname {F}$ seront devenues périodiques, comme celles de la fonction $\varphi .$

En éliminant cette fonction $\operatorname {F}$ des équations $(8),$ elles de-