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positive quelconque, il est évident que cette équation fera connaître toutes les valeurs de la fonction $\operatorname {F}$ dont on a besoin.

Pour en obtenir l’expression générale, désignons par i un nombre entier positif ou zéro, et par $z,$ une quantité positive plus petite que $2l\,;$ prenons $at=2il+z,$ et faisons, pour abréger,

${\frac {k-1}{k+1}}=b\,;$

nous déduirons facilement de l’équation précédente

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {F} \left(2(i+1)l+z\right)=&b^{i+1}\operatorname {F} z-b\varphi \left({\frac {2il+z}{a}}\right)-b^{2}\varphi \left({\frac {2(i-1)l+z}{a}}\right)\\-&b^{3}\varphi \left({\frac {2(i-2)l+z}{a}}\right)\ldots -b^{i+1}\varphi \left({\frac {z}{a}}\right).\end{aligned}}\right\}(9)$

On pourra attribuer à la première tranche fluide, tel mouvement de vibrations qu’on voudra, pourvu que la fonction $\varphi t,$ qui représente toujours très-petite, par rapport à $a,$ et qu’il en soit de même des valeurs résultantes pour la fonction $\operatorname {F} \,;$ car, sans cela, les valeurs de $v$ et de $s,$ données, par les équations $(8),$ cesseraient aussi d’être trèspetites ; le mouvement du fluide ne pourrait plus se déterminer par notre analyse (n^o 2), et ce mouvémeut ne serait plus de la même nature que les vibrations sonores. Nous allons donc examiner successivement les principales formes que l’on peut attribuer à la fonction $\varphi ,$ et nous exclurons celles dont il résulterait de trop grandes valeurs pour la fonction $\operatorname {F} .$

(20) Supposons d’abord que la première tranche fluide fasse des oscillations isochrones dont la durée commune soit égale à ${\frac {2l}{a}},$ en sorte que sa vitesse redevienne la même et de même signe, toutes les fois que le temps augmente de ${\frac {2l}{a}},$ ou