suffit que sa largeur soit la même dans toute son étendue, et que les distances x soient comptées sur la courbe qu’il forme ; mais le cas où le tube rentre sur lui-même et forme une courbe fermée, mérite quelque attention ; c’est pourquoi nous allons le considérer d’une manière succincte.
Fixons l’origine des en un point du tube choisi arbitrairement, et désignons toujours sa longueur par les valeurs des deux fonctions et seront données d’après l’état initial du fluide (no 3), pour toutes les valeurs positives de depuis jusqu’à mais pour assigner, au moyen des équations les valeurs de et de en un point et à un instant quelconque, il faut en outre connaître la fonction pour toutes les valeurs négatives de la variable, et la fonction pour toutes les valeurs positives et plus grandes que Or, le point où l’on a placé l’origine des répond également à et à il faut donc que les valeurs de et de soient les mêmes pour l’une et l’autre valeurs de ; donc, en vertu des équations nous aurons
d’où l’on conclut
et comme ces équations ont lieu pour toutes les valeurs positives de elles détermineront les valeurs des fonctions et qu’on a besoin de connaître, au moyen de celles qui sont déja connues : la détermination du mouvement du fluide est donc complète, et le problême est résolu.
Ces mêmes équations montrent que chacune des deux
