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est toujours une quantité positive ; si donc on considère un point du fluide pris hors de l’ébranlement primitif, et situé, pour fixer les idées, du côté des $x$ positives, on aura toujours $x+y>\alpha ,$ et par conséquent

$\psi (x+y)=0,\qquad \Psi (x+y)=0\,;$

ce qui réduit les équations $(4)$ à

${\begin{alignedat}{2}v=&{\frac {1}{2}}\psi (x-at)&&+{\frac {a}{2}}\Psi (x-at),\\as=&{\frac {1}{2}}\psi (x-at)&&+{\frac {a}{2}}\Psi (x-at).\end{alignedat}}$

Or, voici les conséquences qui se déduisent immédiatement de l’inspection de ces valeurs de $v$ et $as.$

Tant qu’on aura $at<x-a,$ les fonctions $\psi (x-at)$ et $\Psi (x-at)$ seront nulles, et, par suite, les quantités $v$ et $s\,;$ elles cesseront de l’être à l’instant où l’on aura $at=x-\alpha \,;$ puis elles redeviendront égales à zéro, quand on aura $at=x+\alpha .$ Ainsi l’ébranlement des tranches situées du côté des $x$ positives, commence quand $t={\frac {x-\alpha }{a}}\,;$ il dure depuis $t={\frac {x-\alpha }{a}},$ jusqu’à $t={\frac {x+\alpha }{a}},$ ou pendant un intervalle de temps égal ${\frac {2\alpha }{a}}\,;$ et la portion de fluide ébranlée à-la-fois, est comprise depuis $x=at-\alpha$ jusqu’à $x=at+\alpha \,;$ de manière que sa longueur est $2\alpha ,$ comme celle de l’ébranlement primitif. On aurait des résultats semblables relativement aux tranches fluides, situées du côté des $x$ négatives : dans les deux sens, le son, ou l’ébranlement qui le produit, se propage avec une vitesse constante, égale à $a,$ et indépendante de l’étendue et de la nature de l’ébranlement primitif. Nous renverrons au Mémoire sur la théorie du son^[1], déja cité, l’examen

1. Pages 360 et suivantes.