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entrent dans les équations $(3),$ et ces équations deviendront

$\left.{\begin{alignedat}{2}v=&{\frac {1}{2}}\left(\psi (x-y)+\psi (x+y)\right)&&+{\frac {a}{2}}\left(\Psi (x-y)-\Psi (x+y)\right),\\as=&{\frac {1}{2}}\left(\psi (x-y)-\psi (x+y)\right)&&+{\frac {a}{2}}(\Psi (x-y)+\Psi (x+y)).\end{alignedat}}\right\}(4)$

(4) Maintenant il faut distinguer deux cas essentiellement différens celui où le tube se prolonge indéfiniment, et le cas où sa longueur est finie et déterminée. Dans le premier cas, que nous allons d’abord examiner, les valeurs des fonctions $\psi x$ et $\Psi x$ sont données pour toutes les valeurs positives ou négatives de $x\,;$ les quantités $\psi (x-y),$ $\psi (x+y),$ $\Psi (x-y),$ $\Psi (x+y),$ qui entrent dans les équations (4), sont donc aussi connues pour toutes les valeurs possibles de $x$ et de $y$ ; par conséquent, ces équations renferment la solution complète du problême, puisqu’elles font connaître, à un instant quelconque, et en tel point du tube qu’on voudra, la vitesse $v$ et la condensation $s$ du fluide.

Si, à l’origine du mouvement, le fluide n’a été ébranlé que dans une partie déterminée de sa longueur, ce cas sera celui de la production du son ; et il s’agira de savoir comment cet ébranlement partiel se propage dans toute la colonne fluide. Pour cela, fixons l’origine des distances $x$ au milieu de l’ébranlement primitif, que nous supposerons s’étendre depuis $x=-\alpha$ jusqu’à $x=\alpha ,$ $\alpha$ étant une quantité donnée. Les condensations et les vitesses initiales des tranches fluides étaient donc nulles hors de ces limites, c’est-à-dire qu’on a $\psi x=0,$ $\Psi x=0,$ pour toutes les valeurs de $x$ plus grandes que $\alpha ,$ abstraction faite du signe ; or, le temps $t$ étant compté de l’origine du mouvement, la variable $y=at$