que, relativement à un sphéroïde quelconque de la densité
on a, par ce qui précède,
![{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {V} }{dr}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} =2\alpha \pi .\rho _{1}.h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf83a79942885550e61e81c33141dcdc66e7cd5)
étant la hauteur du point attiré au-dessus de la surface du sphéroïde ; ce qui donne, en représentant par
la densité du plateau
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left({\frac {d\mathrm {V} _{_{\scriptscriptstyle {I}}}}{dr}}\ \ \right)&+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} _{_{\scriptscriptstyle {I}}}&&=2\alpha \pi .\rho _{1}.(y_{1}+y''')\\\left({\frac {d\mathrm {V} _{_{\scriptscriptstyle {II}}}}{dr}}\right)&+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} _{_{\scriptscriptstyle {II}}}&&=2\alpha \pi .\rho _{1}.y'''\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd751c67d0423e9f1c2bb156d17e552ffcbcd300)
on a ensuite
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left({\frac {d\mathrm {V} _{_{\scriptscriptstyle {III}}}}{dr}}\right)&+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} _{_{\scriptscriptstyle {III}}}&&=0\,;\\\left({\frac {d\mathrm {V} '}{dr}}\ \ \right)&+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} '&&=0\,:\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb8fd455b399250b77e23ed28b4b6a78579209a)
on aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}p'=const.&-2\alpha \pi .\left({\overline {y}}+y_{1}+y'''\right).\int \rho .d.a^{3}\\&+2\alpha \pi .\int \rho .d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}+a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}+a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}+{\text{etc}}.\right)\\&+2\alpha \pi .\rho _{1}.y_{1}+{\frac {5}{4}}\alpha \varphi .\mathrm {P} .\mu ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc252f8864a8c03f029353a5ff5f08c2f2802038)
Si l’on désigne par
la pesanteur à la surface du plateau ; il faudra, pour l’obtenir, augmenter
de la quantité
on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}p'=const.-2\alpha \pi .&\left({\overline {y}}+y_{1}+y'''\right).\int \rho .d.a^{3}\\&+2\alpha \pi .\int \rho .d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}+a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}+{\text{etc}}.\right)\\&+2\alpha \pi .\rho _{1}.y_{1}+2\mathrm {P} .\alpha .y'''+{\frac {5}{4}}\alpha \varphi .\mathrm {P} .\mu ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52a5369db80517f2479a5b9bf823d6dc544286e)