Enfin, par un milieu pris entre les résultats des phénomènes des marées, de la nutation, de la parallaxe lunaire, et de l’équation lunaire des tables du soleil, on trouve
![{\displaystyle \beta =2{,}57.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e6bdae97edc268d27c882ce22fefa83f1fe82e)
On a donc
![{\displaystyle k=-\mathrm {P} .0{,}001736.{\frac {\int \rho .d.a^{5}}{\int \rho .d.a^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7bce3c493e665ee3ad8ce31e4b99e5a8008f6d)
Si l’on compare cette valeur de
à celle que nous avons trouvée précédemment par les inégalités lunaires, et qui est
![{\displaystyle k=-\mathrm {P} .0{,}0015588,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4922118afe40d098fb547a27765ab3c28060f68b)
on voit que la fraction
est un peu moindre que l’unité ; ce qui doit être, si, conformément aux lois de l’hydrostatique, la densité p des couches terrestres diminue du centre à la surface. Les limites de cette fraction étant zéro et l’unité, les limites de
sont
et
Les trois valeurs précédentes de
sont entre ces limites. Le milieu entre ces trois valeurs donne, à-fort-peu-près,
![{\displaystyle k=-\mathrm {P} .0{,}00153\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5bc1e13d4f1a37c2e3b374abc87636bc297fd1d)
ce qui donne
![{\displaystyle \int \rho .d.a^{3}={\frac {0{,}001736}{0{,}00153}}.\int \rho .d.a^{5}.\qquad (i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6110fca86ac9161479ecabe76c328c2204c15631)
Supposons la densité
croître en progression arithmétique de la surface au centre, en sorte que
étant la densité de la couche extérieure du sphéroïde terrestre, la densité d’une de ses couches soit
On aura, en nommant
la moyenne densité de la terre,
![{\displaystyle \mathrm {D} =\int \rho .d.a^{3}=(\rho ).\left(1+{\frac {1}{4}}e\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7eca5b711d629458a7139db1a75a9137617666)