Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 2.djvu/331

la valeur de $-{\frac {1}{2}}\mathrm {V} _{1}$ étant fort convergente, il convient de la substituer au lieu de $\left({\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dr}}\right)$

${\begin{aligned}p'&=const.-{\frac {4}{3}}\pi .\int \rho .d.a^{3}.(2\alpha {\overline {y}}+2\alpha \,y'')\\&+4\alpha \pi .\int \rho .d\left({\frac {2a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3}}+{\frac {3a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5}}+{\frac {4a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7}}+{\text{etc}}.\right)\\&+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} _{1}+\alpha \varphi .\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).\end{aligned}}$

Si l’on retranche de cette équation, le double de la précédente ; on aura

${\begin{aligned}p'=const.&+4\alpha \pi .\int \rho .d\left({\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5}}+{\frac {2a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7}}+{\text{etc}}.\right)\\&-{\frac {3}{2}}\mathrm {V} _{1}+2\alpha \varphi .\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).{\frac {4}{3}}\pi .\int \rho .d.a^{3}.\end{aligned}}$

En développant $\mathrm {V_{1}}$ suivant les puissances de ${\frac {1}{r}},$ expression de cette forme

$\mathrm {V} _{1}={\frac {\mathrm {U} _{1}^{(0)}}{r}}+{\frac {\mathrm {U} _{1}^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {\mathrm {U} _{1}^{(2)}}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {U} _{1}^{(3)}}{r^{4}}}+{\text{etc}}.$

$\mathrm {U} _{1}^{(1)}$ étant une fonction rationnelle et entière de $\mu ,$ ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}.sin.\omega ,$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}.cos.\omega ,$ assujettie à la même équation aux différences partielles, que $\mathrm {Y} ^{(i)}\,;$ l’équation précédente devient ainsi

$p'=const.+4\alpha \pi .\int \rho .d.\left({\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5}}+2{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7}}+{\text{etc}}.\right)$

$-{\frac {3}{2}}.\mathrm {\left(U_{1}^{(1)}+U_{1}^{(2)}+U_{1}^{(3)}+etc.\right)} +2\alpha \varphi .\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).{\frac {4}{3}}\pi .\int \rho .d.a^{3}.$

Il résulte des expériences nombreuses du pendule, que l’on a, à-fort-peu-près,

$p'=const.+\alpha \,q.\mathrm {P} .\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$