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vient, en ne considérant que la puissance ${\frac {1}{r^{i+1}}},$ $i$ étant un nombre pair,

${\frac {2.(-1)^{\frac {i}{2}}}{\sqrt {2i\pi }}}.\int \alpha .{\frac {y_{1}.d\mu '.d\omega '.cos.\left(i+{\frac {1}{2}}\right)\gamma '}{(1-\lambda ^{2})^{\frac {1}{4}}}}.$

En intégrant cette fonction, par rapport à $\mu ',$ on a

${\begin{aligned}&{\frac {2.(-1)^{\frac {i}{2}}}{\left(i+{\frac {1}{2}}\right).{\sqrt {2i\pi }}}}.\int \alpha .{\frac {y_{1}.d\omega '.sin.\left(i+{\frac {1}{2}}\right).\gamma '.\left({\frac {d\mu '}{d\gamma '}}\right)}{(1-\lambda ^{2})^{\frac {1}{4}}}},\\-&{\frac {2.(-1)^{\frac {i}{2}}}{\left(i+{\frac {1}{2}}\right).{\sqrt {2i\pi }}}}.\int \alpha .d\omega '.sin.\left(i+{\frac {1}{2}}\right).\gamma '.{\frac {d}{d\mu '}}.\left({\frac {y_{1}\left({\frac {d\mu '}{d\gamma '}}\right)}{(1-\lambda ^{2})^{\frac {1}{4}}}}\right).\end{aligned}}$

Si $i$ est un nombre impair, il suffit de changer dans cette expression, le sinus en -cosinus, et $(-1)^{\frac {i}{2}}$ dans $(-1)^{\frac {i-1}{2}}.$ On voit ainsi que, quel que soit $y_{1},$ on arrivera toujours, par le développement du radical, suivant les puissances de ${\frac {1}{r}},$ à une série convergente et finie, à cause du diviseur ${\frac {1}{\left(i+{\frac {1}{2}}\right).{\sqrt {2i\pi }}}}.$ Or $\mathrm {P} ^{(i)}$ étant le coëfficient de ${\frac {1}{r^{i+1}}}$ dans ce développement, le n^o 15 du troisième livre de la Mécanique céleste,

$\mathrm {P} ^{(i)}=2.({\frac {1.3.5\ldots {\overline {2i-1}}}{1.2.3\ldots i}}.$

$\sum .\left\{{\frac {i.{\overline {i-1}}.{\overline {i-2}}\ldots {\overline {2i-1}}}{{\overline {i+1}}.{\overline {i+2}}\ldots {\overline {i+n}}}}.\left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {n}{2}}.\left(\mu ^{i-n}-{\frac {(i-n).{\overline {i-n-1}}}{2.{\overline {2i-1}}}}.\mu ^{i-n-1}+{\text{etc}}.\right)\right.$

$\left.\times \left(1-\mu ^{'2}\right)^{\frac {n}{2}}.\left(\mu '\,^{^{i-n}}-{\frac {(i-n).{\overline {i-n-1}}}{2.{\overline {2i-1}}}}.\mu '^{\,^{i-n-1}}+{\text{etc}}.\right).cos.n(\omega '-\omega )\right\}\,;$

le signe $\sum$ comprenant toutes les valeurs de la fonction qu’il enveloppe, depuis $n=0$ jusqu’à $n=i.$ Dans le cas de $n=0,$