se réduisent à l’unité, comme cela doit être : car alors
devient
et l’on a, en faisant
nul après les différentiations,
![{\displaystyle d^{i}.{\frac {1}{\frac {1-x}{1.2.3\ldots i.dx^{i}}}}=1=\mathrm {P} ^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62d5b936e724fbf03c44831ba1e80245da33995)
Mais, quelque petit que l’on suppose
ou
on peut toujours supposer
assez grand pour que
soit fort grand ; et alors on a, à-fort-peu-près, l’intégrale
![{\displaystyle \int d\omega .c^{-2i.cos.^{2}\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega \pm 2i.sin.\gamma .cos.\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201bb94ad250197d4dbb38c81a48b9c97ea731e5)
égale à cette même intégrale dans laquelle on change
dans
et que l’on prend depuis
nul jusqu’à
infini. Il est facile d’en conclure que, dans le cas de
pair, on a, lorsque
est un très-grand nombre,
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(i)}={\frac {2.(-1)^{\frac {i}{2}}.cos.(i+{\frac {1}{2}}).\gamma '}{{\sqrt {2i\pi }}.\left(1-\lambda ^{2}\right)^{\frac {1}{4}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11de87f128dd53c01ec8c80420524ef4006dca8b)
et dans le cas de
impair et très-grand, on a
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(i)}={\frac {2.(-1)^{\frac {i-1}{2}}.sin.(i+{\frac {1}{2}}).\gamma '}{{\sqrt {2i\pi }}.\left(1-\lambda ^{2}\right)^{\frac {1}{4}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65639ae8f070e14d08f5d35c482b7aa6e4dd2d6b)
Pour peu que
soit moindre que l’unité, on peut supposer
assez grand pour que ces expressions de
soient fort approchées : elles deviennent exactes, lorsque
est infini.
Considérons maintenant l’intégrale
qui devient
ou l’intégrale
lorsqu’on suppose
Cette intégrale développée par rapport aux puissances de
de-