étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité.
étant infini, cette exponentielle est nulle, ou se réduit à
en effet, lorsqu’elle n’est pas nulle,
est une quantité finie, ou infiniment petite, que nous désignerons par
alors cette exponentielle devient
![{\displaystyle c^{-q'}.c^{-{\frac {q^{'2}}{2i}}-{\frac {q^{'3}}{3i^{2}}}-{\text{etc}}.},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00514a9ada76406af68ad4b1fb9641702b86a0e)
ou
le facteur
devenant l’unité, parce que son exposant est infiniment petit.
Il suit de là que
étant un grand nombre, on peut supposer dans l’intégrale précédente, etc.
![{\displaystyle \left(1-2.\left(cos.\gamma '-{\sqrt {-1}}.sin.\gamma '\right).cos.\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right)^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe17ae80d11206d2a08c0c5f3534617dd1b0542c)
![{\displaystyle =c^{-2i.cos.\gamma '.\left(cos.\gamma '-{\sqrt {-1}}.sin.\gamma '\right).sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e2ec303b82c232b2b171643a1825f4a89278f8)
![{\displaystyle \left(1-2.\left(cos.\gamma '+{\sqrt {-1}}.sin.\gamma '\right).cos.\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right)^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f062af39351fabaabbc23b8f29bc67e3773eb7d)
![{\displaystyle =c^{-2i.cos.\gamma '.\left(cos.\gamma '+{\sqrt {-1}}.sin.\gamma '\right).sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c9f047e4d27dc727f0a2246d8aca6ab4eb94df)
d’où il est facile de conclure que la fonction
dans le cas de
un nombre pair et très-considérable, devient
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi .(-1)^{\frac {i}{2}}}}.\int d\omega .c^{-2i.cos.^{2}\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega }.cos.\left(i\gamma '+2i.sin.\gamma '.cos.\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be4f4340100ac339e58df140e812499b67b5ae7)
et que dans le cas de
impair, cette fonction devient
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi .(-1)^{\frac {i-1}{2}}}}.\int d\omega .c^{-2i.cos.^{2}\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega }.sin.\left(i\gamma '+2i.sin.\gamma '.cos.\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b772a54318d4c9c4bb0db95efdd451a25a772d87)
Si l’on a
ce qui donne
ces deux quantités