l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
En faisant donc
![{\displaystyle {\frac {x-\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}=\zeta .{\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af976f6cbde00a92879a736d3628f6bae9c74337)
on aura
![{\displaystyle d^{i}.{\frac {1}{\frac {\sqrt {1-2\lambda \,dx+x^{2}}}{1.2.3\ldots i.dx^{i}}}}={\frac {1}{\pi .\left({\sqrt {-1}}\right)^{i}}}.\int d\omega .\left(\lambda {\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}.cos.\omega \right)^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae23df622648447a8aec782b788e196c4d3c4836)
L’intégrale précédente est égale à cette même intégrale prise depuis
nul jusqu’à
plus à l’intégrale
![{\displaystyle \int d\omega '.\left(\lambda {\sqrt {-1}}-{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}.cos.\omega '\right)^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08cb988363b755abe19bc61b225d4f2586a31e0)
prise dans les mêmes limites ; comme il est facile de s’en assurer en changeant
en
au-delà de
Soit donc
ce qui donne
on aura
![{\displaystyle d^{i}.{\frac {1}{\frac {\sqrt {1-2\lambda \,dx+x^{2}}}{1.2.3\ldots i.dx^{i}}}}={\frac {1}{\pi .\left({\sqrt {-1}}\right)^{i}}}.\int d\omega .\left({\begin{aligned}&\left({\sqrt {-1}}.sin.\gamma '+cos.\gamma 'cos.\omega \right)^{i}\\+&\left({\sqrt {-1}}.sin.\gamma '-cos.\gamma 'cos.\omega \right)^{i}\end{aligned}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac30aca48f51b217a18f5cc986aba05421351a1e)
l’intégrale étant prise depuis
nul, jusqu’à
On peut mettre le second membre de cette équation, sous cette forme,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\pi .\left({\sqrt {-1}}\right)^{i}}}.\int d\omega .&{\Bigg \{}\left(cos.i\gamma '+{\sqrt {-1}}.sin.i\gamma '\right){\Bigg .}\\&\qquad \left(1-2.\left(cos.\gamma '-{\sqrt {-1}}.sin.\gamma '\right).cos.\gamma '.\sin ^{2}.{\frac {1}{2}}\omega \right)^{i}\\&+(-1)^{i}.\left(cos.i\gamma '-{\sqrt {-1}}.sin.i\gamma '\right).\\&\qquad \left.\left(1-2.\left(cos.\gamma '+{\sqrt {-1}}.sin.\gamma '\right).cos.\gamma '.\sin ^{2}.{\frac {1}{2}}\omega \right)^{i}\right\}.\quad (q)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dec71da295d82dffc65864164be86e52b4c0436)
On a généralement :
![{\displaystyle (1-q)^{i}=c^{-i.log.(1-q)}=c^{-iq.\left(1+{\frac {q}{2}}+{\frac {q^{2}}{3}}+{\text{etc}}.\right)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e3cdb348ab396cf7f40589b999508e63d81002)