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l’intégrale étant prise depuis $\omega =0$ jusqu’à $\omega =\pi .$ En faisant donc

${\frac {x-\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}=\zeta .{\sqrt {-1}}$

on aura

$d^{i}.{\frac {1}{\frac {\sqrt {1-2\lambda \,dx+x^{2}}}{1.2.3\ldots i.dx^{i}}}}={\frac {1}{\pi .\left({\sqrt {-1}}\right)^{i}}}.\int d\omega .\left(\lambda {\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}.cos.\omega \right)^{i}.$

L’intégrale précédente est égale à cette même intégrale prise depuis $\omega$ nul jusqu’à $\omega ={\frac {\pi }{2}},$ plus à l’intégrale

$\int d\omega '.\left(\lambda {\sqrt {-1}}-{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}.cos.\omega '\right)^{i},$

prise dans les mêmes limites ; comme il est facile de s’en assurer en changeant $\omega$ en $\pi -\omega ',$ au-delà de $\omega ={\frac {\pi }{2}}.$ Soit donc $\gamma ={\frac {\pi }{2}}-\gamma '\,;$ ce qui donne $\lambda =sin.\gamma '\,:$ on aura

$d^{i}.{\frac {1}{\frac {\sqrt {1-2\lambda \,dx+x^{2}}}{1.2.3\ldots i.dx^{i}}}}={\frac {1}{\pi .\left({\sqrt {-1}}\right)^{i}}}.\int d\omega .\left({\begin{aligned}&\left({\sqrt {-1}}.sin.\gamma '+cos.\gamma 'cos.\omega \right)^{i}\\+&\left({\sqrt {-1}}.sin.\gamma '-cos.\gamma 'cos.\omega \right)^{i}\end{aligned}}\right),$

l’intégrale étant prise depuis $\omega$ nul, jusqu’à $\omega ={\frac {\pi }{2}}.$ On peut mettre le second membre de cette équation, sous cette forme,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\pi .\left({\sqrt {-1}}\right)^{i}}}.\int d\omega .&{\Bigg \{}\left(cos.i\gamma '+{\sqrt {-1}}.sin.i\gamma '\right){\Bigg .}\\&\qquad \left(1-2.\left(cos.\gamma '-{\sqrt {-1}}.sin.\gamma '\right).cos.\gamma '.\sin ^{2}.{\frac {1}{2}}\omega \right)^{i}\\&+(-1)^{i}.\left(cos.i\gamma '-{\sqrt {-1}}.sin.i\gamma '\right).\\&\qquad \left.\left(1-2.\left(cos.\gamma '+{\sqrt {-1}}.sin.\gamma '\right).cos.\gamma '.\sin ^{2}.{\frac {1}{2}}\omega \right)^{i}\right\}.\quad (q)\end{aligned}}$

On a généralement :

$(1-q)^{i}=c^{-i.log.(1-q)}=c^{-iq.\left(1+{\frac {q}{2}}+{\frac {q^{2}}{3}}+{\text{etc}}.\right)},$