nens. Développons le radical
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2r.cos.\gamma +1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a493ba22cd2e723a6fc5f3a25313bdb2e8ee18)
suivant les puissances de
En nommant
le coëfficient de
dans ce développement, on aura par le no 23 du troisième livre de la Mécanique céleste, en faisant ![{\displaystyle cos.\gamma =\lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33e8d8d6f0576a89469786cfe41c8416d9f13e4)
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots {\overline {2i-1}}}{1.2.3\ldots i}}.\left(\lambda ^{i}-{\frac {i.{\overline {i-1}}}{2.{\overline {2i-1}}}}.\lambda ^{i-2}+{\frac {i.{\overline {i-1}}.{\overline {i-2}}.{\overline {i-3}}}{2.4.{\overline {2i-1}}.{\overline {2i-3}}}}.\lambda ^{i-4}-{\text{etc}}.\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3191ab2f402a98a5f7b6443d29ea799804ebbeed)
Si l’on fait
ce coëfficient sera celui de
dans le développement de la fonction
fonction que l’on peut mettre sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}.{\sqrt {1+{\frac {(x-\lambda )^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3fef2c1b33a08b3547d2ff0c59032d1ddeb2114)
Le coëfficient de
dans le développement de
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {(x-\lambda )^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ccb9077fe5bc4bea1ede2a8586a84f97b83822)
est égal à ![{\displaystyle \qquad \qquad {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}.{\frac {1}{\frac {\sqrt {1+{\frac {(x-\lambda )^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}}{1.2.3\ldots i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83bfb1a85a71cae120027a350c0f418528bc5127)
en faisant
après les différentiations. J’ai fait voir dans le no 38 du livre Ier de ma Théorie des probabilités, que l’on a
![{\displaystyle d^{i}.{\frac {1}{\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{d\zeta ^{i}}}}={\frac {1}{\pi (1-\zeta ^{2})^{i+{\frac {1}{2}}}}}.{\frac {\int d\omega '.(\zeta +cos.\omega )^{i}}{1.2.3\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320c8fd79181dd621b6269f79462d6445f0f2e51)