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nens. Développons le radical

${\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2r.cos.\gamma +1}}},$

suivant les puissances de ${\frac {1}{r}}.$ En nommant $\mathrm {P} ^{(i)}$ le coëfficient de ${\frac {1}{r^{i+1}}}$ dans ce développement, on aura par le n^o 23 du troisième livre de la Mécanique céleste, en faisant $cos.\gamma =\lambda ,$

$\mathrm {P} ^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots {\overline {2i-1}}}{1.2.3\ldots i}}.\left(\lambda ^{i}-{\frac {i.{\overline {i-1}}}{2.{\overline {2i-1}}}}.\lambda ^{i-2}+{\frac {i.{\overline {i-1}}.{\overline {i-2}}.{\overline {i-3}}}{2.4.{\overline {2i-1}}.{\overline {2i-3}}}}.\lambda ^{i-4}-{\text{etc}}.\right)$

Si l’on fait ${\frac {1}{r}}=x,$ ce coëfficient sera celui de $x^{i},$ dans le développement de la fonction $\left(1-2x.\lambda +x^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}},$ fonction que l’on peut mettre sous cette forme

${\frac {1}{{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}.{\sqrt {1+{\frac {(x-\lambda )^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}}}}.$

Le coëfficient de $x^{i}$ dans le développement de

${\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {(x-\lambda )^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}}},$

est égal à $\qquad \qquad {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}.{\frac {1}{\frac {\sqrt {1+{\frac {(x-\lambda )^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}}{1.2.3\ldots i}}}$

en faisant $x=0$ après les différentiations. J’ai fait voir dans le n^o 38 du livre I^er de ma Théorie des probabilités, que l’on a

$d^{i}.{\frac {1}{\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{d\zeta ^{i}}}}={\frac {1}{\pi (1-\zeta ^{2})^{i+{\frac {1}{2}}}}}.{\frac {\int d\omega '.(\zeta +cos.\omega )^{i}}{1.2.3\ldots }},$