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au-dessus de la sphère, en sorte qu’en désignant par $a'$ son rayon, la différence $r-a'$ soit fort petite. La fonction $a'\left({\frac {d\mathrm {V} }{dr}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {V}$ étant égale à

${\frac {(r-a')}{2}}.\int {\frac {dm.(r-a'-2a'.\cos .\gamma )}{\left(r^{2}-2a'r.\cos .\gamma +a^{'2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;\qquad (f)$

cette intégrale, à cause de la grandeur de son diviseur, pourrait alors ne pas devenir insensible par la petitesse du facteur $r-a'\,;$ mais on voit que si, près du point attiré, la molécule $dm$ diminue comme le quarré $r^{2}-2a'r.\cos .\gamma +a^{'2},$ de la distance de ce point à cette molécule, alors l’intégrale $(f)$ devient insensible, et l’équation $(b)$ subsiste.

Si l’on conçoit maintenant un sphéroïde très-peu différent d’une sphère, et si l’on suppose le point attiré à sa surface, et à ce point, une sphère osculatrice d’un rayon $a$ fort peu différent du rayon du sphéroïde ; alors $\mathrm {V}$ désignant la somme des molécules de l’excès du sphéroïde sur la sphère, divisées par leurs distances au point attiré, l’intégrale $(f)$ deviendra nulle ; parce que les molécules $dm$ de cet excès sont nulles au point de contact, et que, près de ce point, elles croissent comme le quarré de leur distance à ce point. L’équation $(b)$ subsiste donc pour ce point. Relativement à la sphère, on a

$a\left({\frac {d\mathrm {V} }{dr}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} =-{\frac {2}{3}}.\pi .{\frac {a^{3}}{r}}\,;$

en supposant donc $\mathrm {V}$ relatif au sphéroïde entier, on aura, pour le point situé à ce contact,

$a\left({\frac {d\mathrm {V} }{dr}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} =-{\frac {2}{3}}.\pi .a^{2}\,:\qquad (c)$

c’est l’équation que j’ai donnée dans le n^o 10 du troisième livre de la Mécanique céleste.