![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Constante}}={\frac {4\pi }{3r}}.\int \rho .d.a^{3}&+4\alpha \pi .\int \rho .d.\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+{\text{etc}}.\right)\,;\\&+4\alpha \pi .\left({\frac {\mathrm {Y} ^{'(0)}}{r}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{'(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{'(2)}}{5r^{3}}}+{\text{etc}}.\right)\,;\qquad (2)\\&+\mathrm {V} ''-{\frac {\alpha \varphi }{2}}.r^{2}.{\frac {4\pi }{3}}.\int \rho .d.a^{3}.\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb09520068e66d9b651faed12fc087b7f395a906)
devant être supposé égal à
et par conséquent égal à l’unité dans les termes multipliés par
puisqu’on néglige les termes de l’ordre
Cette équation a cela de remarquable, savoir que la différentielle de son second membre, prise par rapport à
et divisée par
est l’expression de la pesanteur, comme il résulte du no 33 du troisième livre de la Mécanique céleste. En nommant donc
la pesanteur, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}p={\frac {4\pi }{3r^{2}}}.\int \rho .d.a^{3}&+4\alpha \pi .\int \rho .d.\left({\frac {2a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {3a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\text{etc}}.\right)\,;\\&+4\alpha \pi .\left({\frac {\mathrm {Y} ^{'(0)}}{r^{2}}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{'(1)}}{3r^{3}}}+{\frac {3\mathrm {Y} ^{'(2)}}{5r^{4}}}+{\text{etc}}.\right)\,;\qquad (3)\\&-({\frac {d\mathrm {V} ''}{dr}})+\alpha \varphi .r.{\frac {4\pi }{3}}.\int \rho .d.a^{3}.\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea5a3e2452a1982a6c557bd162b7bd1d4ecb015e)
On a, par le no 10 du troisième livre de la Mécanique céleste, à la surface de la mer,
![{\displaystyle 0=\left({\frac {d\mathrm {V} ''}{dr}}\right)+{\frac {1}{2}}.\mathrm {V} ''\,;\qquad (a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2a1088643347035d7db9ea6077a075b9994bf2)
Cette équation remarquable étant très-utile pour ce qui va suivre, je vais en rappeler ici la démonstration. Si l’on conçoit une sphère homogène du rayon
et dont la densité soit exprimée par l’unité ; la somme de ses molécules divisées par leurs distances respectives à un point extérieur attiré dont
soit la distance à son centre, sera la masse de