rationnelle et entière de l’ordre
relativement à ces trois dernières quantités, et telle que l’on ait généralement :
![{\displaystyle 0=\left({\frac {d.\left(1-\mu ^{2}\right).\left({\frac {d\mathrm {Y} ^{(i)}}{d\mu }}\right)}{d\mu }}\right)+{\frac {\left({\frac {d\,d\mathrm {Y} ^{(i)}}{d\omega ^{2}}}\right)}{1-\mu ^{2}}}+i.{\overline {i-1}}\mathrm {Y} ^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a784a4ccc41a9429b17150b6e0a45f7917c5d087)
La formule (5) du no 14. du troisième livre de la Mécanique caleste, devient ainsi
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {4\pi }{3r}}.\int \rho .d.a^{3}+4\alpha \pi .\int \rho .d.\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+{\text{etc}}.\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9919183742bf2f22122497bc88a2f9e1cf7ab52)
étant le rapport de la demi-circonférence au rayon : les différentielles et les intégrales étant relatives à la variable
celles-ci étant prises depuis
nul jusqu’à sa valeur à la surface du sphéroïde, valeur que je prendrai pour l’unité.
Concevons maintenant la mer en équilibre sur ce sphéroïde doué d’un mouvement de rotation. Soit
le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur ; et désignons par
la somme de toutes les molécules de la mer, divisées par leurs distances respectives au point attiré. Si l’on suppose ce point à la surface de la mer, on aura par le no 23 du troisième livre de la Mécanique céleste, pour l’équation de l’équilibre,
![{\displaystyle {\text{Constante}}={\frac {4\pi }{3r}}.\int \rho .d.a^{3}+4\alpha \pi .\int \rho .d.\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+{\text{etc}}.\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c795abde7acc4c2e3033fe0efdae5393ebcbed)
![{\displaystyle +\mathrm {V} '-{\frac {4}{3}}\pi .\int \rho .d.a^{3}.{\frac {\alpha \varphi .r^{2}}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\,;\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345956ac8467a0d92fd31b9525cb20b549cd1bbd)
Pour déterminer
je supposerai que le rayon mené de l’origine des rayons terrestres à la surface de la mer, soit
étant la valeur de
à la surface du sphéroïde :
sera, à très-peu-près, la profondeur de la mer. Je supposerai ensuite,