Substituant les valeurs des quantités qui forment le numérateur et faisant les réductions nécessaires au moyen des équations
on aura
![{\displaystyle \cos .(\pi -\mathrm {C} ^{_{n}})={\frac {\mathrm {L} \alpha ^{_{2n-3}}-\mathrm {M} \beta ^{_{2n-3}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {N} (-1)^{n}}{a_{_{n}}b_{_{n}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96118c8c065c0f3d392490733d91fc154a8d46ff)
Si de là on tire la valeur de
on trouvera, après un grand nombre de réductions, la formule
![{\displaystyle \sin .^{2}(\pi -\mathrm {C} ^{_{n}})={\frac {\mathrm {5LM-{\frac {5}{4}}N^{2}} }{(a_{_{n}})^{2}(b_{_{n}})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e665c489beb0bcc22d9464e081634b3ac3aec9f6)
Mais la constante
se réduit à
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b1043fc6f2d1905d4c43fd4869a098b37c674a)
ou à
en désignant par
l’aire du triangle
donc on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{_{n}}b_{_{n}}\sin .(\pi -\mathrm {C} _{_{n}})=\mathrm {S} ={\frac {1}{2}}ab\sin .\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85076e2f440c2af70c7d7ec7e79bd088de06691)
ce qui signifie que l’aire du triangle
est égale à celle du triangle primitif
On parvient ainsi à un résultat déja connu, ce qui est une preuve de l’exactitude de nos formules.
Si on suppose comme ci-dessus que le triangle primitif
est équilatéral, et que son côté est pris pour unité, on trouvera les valeurs suivantes pour les carrés des trois côtés du triangle
![{\displaystyle {\begin{aligned}(c_{_{n}})^{2}=&{\frac {2}{5}}\left(\alpha ^{_{2n+2}}+\beta ^{_{2n+2}}\right)-{\frac {1}{5}}(-1)^{n}\\(b_{_{n}})^{2}=&{\frac {2}{5}}\left(\alpha ^{_{2n}}+\beta ^{_{2n}}\right)\quad \ \ +{\frac {1}{5}}(-1)^{n}\\(a_{_{n}})^{2}=&{\frac {2}{5}}\left(\alpha ^{_{2n-2}}+\beta ^{_{2n-2}}\right)-{\frac {1}{5}}(-1)^{n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86d2d456f0e80674febeb2cb5092981b9d6f93e)
formules où l’on pourra substituer pour
et
leurs valeurs
![{\displaystyle \beta =-2\sin .18^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c873671de7a869aed0753bc59772659b515621a)
Si on fait
on trouvera
et si on fait
on