seront les carrés des trois côtés du triangle
au moyen desquels on détermine l’angle
par la formule
![{\displaystyle \cos .\mathrm {C} ^{_{n}}={\frac {(c_{_{n-2}})^{2}+(c_{_{n-1}})^{2}-(c_{_{n}})^{2}}{2c_{_{n-1}}c_{_{n-2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3090488f786b29140c46aedd92545fe51de3156c)
Mais on peut déterminer cet angle par une formule plus simple et qui donnera un résultat numérique plus exact, en partant du principe que l’aire du triangle
doit être égale à celle du triangle primitif
C’est ce qui sera démontré si on fait voir que l’aire du triangle
est égale à celle du triangle
Or puisque
Fig. 9
la base
est double de
le triangle
est double du triangle
ou de son égal
mais puisque C
est double de
le triangle
est aussi double de
donc les deux triangles
ont des aires égales. Il en est de même de deux triangles consécutifs quelconques dans la suite
etc. Donc l’aire du triangle
est égale à celle du triangle donné
Cela posé on aura l’équation
d’où résulte
![{\displaystyle \sin .\mathrm {C} ^{_{n}}={\frac {ab\sin .\mathrm {C} }{a_{_{n}}b_{_{n}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb48ae9a0e90418d07aed981734e3025d628429)
Le numérateur de cette quantité est constant, tandis que le dénominateur est le produit de deux côtés
qui augmentent très-rapidement à mesure que
augmente, ainsi on voit que
deviendra bientôt plus petit que toute quantité donnée ; et comme la valeur de
se réduit en même temps à
sans aucune différence sensible, on en conclura qu’arrivé à ce point l’angle
c’est-à-dire que la somme des angles du triangle proposé est égale à deux angles droits.
Appliquons maintenant le calcul numérique à un exemple particulier, et pour en prendre un très-simple, supposons que le triangle
est équilatéral et que ses côtés
sont égaux à l’unité. On déduira d’abord des résultats précédents les trois premiers termes
ensuite, pour continuer la série indéfiniment, on a l’équation
![{\displaystyle (c_{_{n+1}})^{2}=2(c_{_{n+2}})^{2}+2(c_{_{n+1}})^{2}-(c_{_{n}})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f436f8a83c30fab37d93c834e1ea952205573d8)