Suivant ce que j’ai trouvé dans un autre Mémoire[1], l’intégrale complète de la seconde équation
est
![{\displaystyle \zeta =a\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }d\omega +b\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f26170ac21b46e74081ae4bd435616beaab912f2)
et
désignant les deux constantes arbitraires, et
la base des logarithmes népériens. Il est facile, en effet, de vérifier que cette valeur de
satisfait à la seconde équation
car on en déduit immédiatement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\zeta }{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d\zeta }{dr}}&=ac\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .^{2}\omega \,d\omega -{\frac {a{\sqrt {c}}}{r}}\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .\omega \,d\omega \\&+bc\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .^{2}\omega \log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \\&-{\frac {b{\sqrt {c}}}{r}}\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .\omega \log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \\&-{\frac {2b{\sqrt {c}}}{r}}\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .\omega \,d\omega \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1fc4b924f956fb82635c509daf3a0c017bc4fe)
par l’intégration par partie, on a
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {c}}{r}}\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .\omega \,d\omega =-c\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\sin .^{2}\omega \,d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c947ccf853736a5a59cb3055f783081caf82e220)
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {c}}{r}}\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .\omega \log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega =-{\frac {2{\sqrt {c}}}{r}}\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .\omega \,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d96aa91810eae25831d4bfda21d3a2867697d3)
![{\displaystyle -c\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\sin .^{2}\omega \log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d19310d668f773fcba56af4017a278a8dc880b)
- ↑ Journal de l’École polytechnique, 19e cahier, page 475.