et en les multipliant membre à membre et réduisant, il vient
(12)
Ainsi dans ce quatrième cas, la troisième équation (8) aura lieu, et les deux autres seront remplacées par cette équation (12) jointe à celle de la surface donnée, dont la différentielle est représentée par
5o Enfin, supposons que le plan tangent à la surface demandée puisse toujours varier arbitrairement le long de la courbe extérieure, et que cette courbe ne soit point astreinte à se trouver sur une surface donnée. L’équation continuera d’avoir lieu. En écrivant l’équation (12) sous la forme :
multipliant par et mettant à la place de on aura
Or, la quantité est tout-à-fait arbitraire, puisque maintenant la surface qui avait pour équation différentielle, n’est pas donnée ; l’équation précédente devra donc se décomposer en deux autres ; et en les joignant à l’équation nous aurons
(13)