et à cause de
on en déduira
![{\displaystyle \omega '={\frac {dx}{ds}}{\frac {d\omega }{ds}}-{\frac {dy}{ds}}\theta ,\qquad \omega _{_{'}}={\frac {dy}{ds}}{\frac {d\omega }{ds}}-{\frac {dx}{ds}}\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473206ed684b97d6916f41213e5f2afa7851984f)
étant une variation indéterminée.
Les différentielles
et
pourront, comme dans le numéro précédent, changer de signe dans l’étendue des intégrations indiquées, ou d’un point à un autre de la courbe
en observant que les angles
et
se rapportent à la partie extérieure
de la normale, il est aisé de voir que l’on aura, au point quelconque
![{\displaystyle \cos .\alpha =-{\frac {dy}{ds}},\qquad \cos .\beta =-{\frac {dx}{ds}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42eb3b60196f8621e775dbd730f9be58f94860b2)
Je substitue ces valeurs et celles de
et
dans l’équation (6) ; elle devient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{l}&\mathrm {V} \left({\frac {dx}{ds}}\delta y-{\frac {dy}{ds}}\delta x\right)ds\\&+\int _{0}^{l}\left[\mathrm {\left(Q-T_{_{'}}-{\frac {1}{2}}S'\right)} {\frac {dx}{ds}}-\mathrm {\left(P-R'-{\frac {1}{2}}S_{_{'}}\right)} {\frac {dy}{ds}}\right]\omega \,ds\\&+\int _{0}^{l}\mathrm {\left(T-R\right)} {\frac {dx}{ds}}{\frac {dy}{ds}}{\frac {d\omega }{ds}}ds\\&+\int _{0}^{l}\left[\mathrm {R} {\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}+\mathrm {T} {\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}-\mathrm {S} {\frac {dx}{ds}}{\frac {dy}{ds}}\right]\theta \,ds=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c45585c0e3c4395cb7ba7a75c633624b0288ade)
En intégrant par partie, on a
![{\displaystyle \int _{0}^{l}\mathrm {\left(T-R\right)} {\frac {dx}{ds}}{\frac {dy}{ds}}{\frac {d\omega }{ds}}ds=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc015aa6e0fb064df28d99c67808448f3522b145)
![{\displaystyle \int _{0}^{l}\left[\left({\frac {d\mathrm {R} }{ds}}-{\frac {d\mathrm {T} }{ds}}\right){\frac {dx}{ds}}{\frac {dy}{ds}}+\mathrm {\left(R-T\right)} {\frac {dxd^{2}y+dyd^{2}x}{ds^{2}}}\right]\omega \,ds\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f540b90505c718da4ed2c64133cf3219030e15)