Nous avons eu, dans le no 20,
![{\displaystyle \iint {\frac {d.\mathrm {\mathrm {V} } \delta y}{ddy}}dx\,dy=\left[\int \mathrm {V} \delta y\,dx\right]-\left(\int \mathrm {V} \delta y\,dx\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a7ea1f28c97ae92e35da0b75d7313ee88d864c)
Si cette intégrale double se rapporte à l’aire
l’intégration relative à
que l’on a effectuée, s’est étendue de l’une à l’autre des deux ordonnées
et
qui répondent à une même abscisse quelconque
je supposerai qu’elle a eu lieu de la plus petite ordonnée
à la plus grande
ou qu’on a considéré la variable
comme croissante et la différentielle
comme positive : l’élément
de l’aire
étant essentiellement positif, il s’ensuit que la différentielle
devra aussi être regardée comme positive dans les deux intégrales simples qui sont indiquées. La première répondra à la partie
de la courbe
et la seconde à la partie
en supposant que
et
soient les deux points de cette courbe où les tangentes sont parallèles à l’axe des
Je désigne par
l’arc de la courbe
aboutissant au point quelconque
et dont l’origine est un point fixe, choisi arbitrairement sur cette courbe ; et
étant sa longueur entière, je considère la variable
comme croissante depuis
jusqu’à
et, conséquemment, sa différentielle
comme positive ; soit aussi
l’angle compris entre la normale extérieure
et le prolongement de l’ordonnée
à cause que
est la projection de
sur l’axe des
nous aurons
![{\displaystyle dx=\pm \cos .\beta \,ds,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cd2140215309c823a4ee20ad4e3461e11536d2)
en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur selon que
sera positif ou négatif. Or, l’angle
sera aigu dans toute la partie
de la courbe
et obtus dans toute